Номер 1.54, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Представьте выражение в виде степени:

1) $2^5 \cdot 8 \cdot 16;$

2) $16 \cdot 64 \cdot 128;$

3) $7^n \cdot 343;$

4) $243 \cdot 3^k.$

1) Чтобы представить выражение $2^5 \cdot 8 \cdot 16$ в виде степени, необходимо все множители привести к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим числа 8 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Теперь подставим полученные степени в исходное выражение:
$2^5 \cdot 8 \cdot 16 = 2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^4$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого сложим показатели степеней:
$2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^4 = 2^{5+3+4} = 2^{12}$

Ответ: $2^{12}$

2) Представим все множители в выражении $16 \cdot 64 \cdot 128$ в виде степеней с общим основанием 2.

Представим каждый множитель как степень двойки:
$16 = 2^4$
$64 = 2^6$
$128 = 2^7$

Подставим эти значения в выражение:
$16 \cdot 64 \cdot 128 = 2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^7$

Сложим показатели степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$:
$2^4 \cdot 2^6 \cdot 2^7 = 2^{4+6+7} = 2^{17}$

Ответ: $2^{17}$

3) В выражении $7^n \cdot 343$ один из множителей уже является степенью с основанием 7. Представим второй множитель, число 343, в виде степени с тем же основанием.

Найдем, в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 343:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$

Следовательно, $343 = 7^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:
$7^n \cdot 343 = 7^n \cdot 7^3$

Сложим показатели степеней:
$7^n \cdot 7^3 = 7^{n+3}$

Ответ: $7^{n+3}$

4) В выражении $243 \cdot 3^k$ необходимо представить число 243 в виде степени с основанием 3.

Найдем, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 243:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 81 \cdot 3 = 243$

Следовательно, $243 = 3^5$.

Теперь подставим полученное значение в выражение:
$243 \cdot 3^k = 3^5 \cdot 3^k$

Сложим показатели степеней по свойству умножения степеней:
$3^5 \cdot 3^k = 3^{5+k}$

Ответ: $3^{5+k}$