Номер 1.61, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. Докажите, что уравнение $x^4+4=0$ не имеет корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4+4=0$ не имеет действительных корней, можно рассмотреть его с нескольких точек зрения. Ниже приведены три способа доказательства.

Способ 1: Анализ области значений функции

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f(x) = x^4+4$. Нам нужно доказать, что $f(x)$ никогда не равно нулю.
Слагаемое $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), возведенное в четную степень, дает в результате неотрицательное число. Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо неравенство:
$x^4 \ge 0$
Теперь рассмотрим всю левую часть уравнения. Если к неотрицательному числу $x^4$ прибавить положительное число 4, то результат всегда будет положительным. Точнее:
$x^4 + 4 \ge 0 + 4$
$x^4 + 4 \ge 4$
Это неравенство показывает, что наименьшее значение, которое может принять выражение $x^4+4$, равно 4 (это значение достигается при $x=0$). Поскольку левая часть уравнения всегда больше или равна 4, она никогда не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Способ 2: Прямое решение уравнения

Попробуем решить уравнение $x^4+4=0$ алгебраически.
Перенесем число 4 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x^4 = -4$
Это уравнение требует найти такое действительное число $x$, четвертая степень которого равна -4.
Однако, как мы установили в первом способе, $x^4$ не может быть отрицательным ни для какого действительного числа $x$. Левая часть уравнения ($x^4$) всегда неотрицательна, в то время как правая часть (-4) является отрицательным числом.
Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений среди действительных чисел.

Способ 3: Разложение на множители (метод выделения полного квадрата)

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы разложить ее на множители. Для этого воспользуемся приемом добавления и вычитания одного и того же слагаемого. Добавим и вычтем $4x^2$:
$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(x^2+2)^2$. Выражение $4x^2$ также является полным квадратом $(2x)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:
$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = 0$
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2+2$ и $b=2x$:
$((x^2+2) - 2x)((x^2+2) + 2x) = 0$
Упорядочим слагаемые в каждом множителе:
$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:
1) $x^2 - 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
2) $x^2 + 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.
Поскольку ни один из множителей не может обращаться в ноль при действительных значениях $x$, их произведение также никогда не будет равно нулю. Это доказывает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $x^4+4=0$ не имеет действительных корней, так как его левая часть $x^4+4$ при любом действительном $x$ принимает значение не менее 4, и, следовательно, не может быть равна нулю.