Вопросы, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

2. Сформулируйте правило возведения в степень частного.

3. Сформулируйте правило возведения в степень степени.

4. Докажите формулы (3), (5), (6).

а) В тетради начертите три прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см, 2 см и 3 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь каждого из них и сравните полученные результаты. Сделайте вывод и обоснуйте его.

б) Даны два параллелепипеда с ребрами 2 см, 3 см, 4 см; 4 см, 6 см, 8 см.

1) Найдите площади полных поверхностей и объемы этих параллелепипедов;

3) сравните объемы;

4) сделайте вывод и обоснуйте его.

1. Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень и полученные результаты перемножить. В виде формулы это правило записывается так: $(ab)^n = a^n b^n$.

Ответ: Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. $(ab)^n = a^n b^n$.

2. Сформулируйте правило возведения в степень частного.

Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй. В виде формулы это правило записывается так: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.

Ответ: Чтобы возвести в степень частное, нужно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.

3. Сформулируйте правило возведения в степень степени.

При возведении степени в степень основание степени оставляют прежним, а показатели степеней перемножают. В виде формулы это правило записывается так: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Ответ: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели степеней перемножают. $(a^m)^n = a^{mn}$.

4. Докажите формулы (3), (5), (6).

Предположим, что формулы соответствуют правилам из предыдущих пунктов: (5) - возведение в степень произведения, (6) - возведение в степень частного, (3) - возведение в степень степени. Докажем их для натуральных показателей степени $n, m$.

Доказательство формулы (5): $(ab)^n = a^n b^n$

По определению степени с натуральным показателем $n$ имеем:

$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n \text{ множителей}}$

Используя переместительный и сочетательный законы умножения, сгруппируем множители:

$\underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ множителей}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ множителей}} = a^n \cdot b^n$

Следовательно, $(ab)^n = a^n b^n$, что и требовалось доказать.

Доказательство формулы (6): $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$)

По определению степени с натуральным показателем $n$ имеем:

$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ множителей}}$

По правилу умножения дробей (произведение числителей, деленное на произведение знаменателей):

$\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ множителей}}} = \frac{a^n}{b^n}$

Следовательно, $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, что и требовалось доказать.

Доказательство формулы (3): $(a^m)^n = a^{mn}$

По определению степени с натуральным показателем $n$ имеем:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ множителей}}$

По правилу умножения степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются:

$a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n \text{ слагаемых}}}$

Сумма $n$ слагаемых, каждое из которых равно $m$, является произведением $m \cdot n$.

$a^{mn}$

Следовательно, $(a^m)^n = a^{mn}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательства приведены выше на основе определения степени и свойств арифметических операций.

а)

Найдем площади трех прямоугольников по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.

1. Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см:
$S_1 = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см:
$S_2 = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

3. Прямоугольник со сторонами 8 см и 12 см:
$S_3 = 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Сравнение результатов: $S_1 = 24 \text{ см}^2$, $S_2 = 6 \text{ см}^2$, $S_3 = 96 \text{ см}^2$.
Заметим, что стороны первого прямоугольника в 2 раза больше сторон второго, а его площадь в $4$ раза ($2^2$) больше. Стороны третьего прямоугольника в 4 раза больше сторон второго, а его площадь в $16$ раз ($4^2$) больше.

Вывод и обоснование:
Данные прямоугольники подобны. Если стороны прямоугольника увеличить в $k$ раз, то его площадь увеличится в $k^2$ раз. Обоснование: пусть исходные стороны равны $a$ и $b$, тогда площадь $S = ab$. Новые стороны равны $ka$ и $kb$, тогда новая площадь $S' = (ka) \cdot (kb) = k^2(ab) = k^2S$.

Ответ: Площади прямоугольников равны $24 \text{ см}^2$, $6 \text{ см}^2$ и $96 \text{ см}^2$. Вывод: если линейные размеры подобной фигуры увеличить в $k$ раз, то ее площадь увеличится в $k^2$ раз.

б)

Даны два прямоугольных параллелепипеда:
П1 с ребрами $a_1=2$ см, $b_1=3$ см, $c_1=4$ см.
П2 с ребрами $a_2=4$ см, $b_2=6$ см, $c_2=8$ см.

1) Найдите площади полных поверхностей и объемы этих параллелепипедов;

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2(ab + ac + bc)$.
Объем: $V = abc$.

Для П1:
$S_1 = 2(2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2(6 + 8 + 12) = 2(26) = 52 \text{ см}^2$.
$V_1 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ см}^3$.

Для П2:
$S_2 = 2(4 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 6 \cdot 8) = 2(24 + 32 + 48) = 2(104) = 208 \text{ см}^2$.
$V_2 = 4 \cdot 6 \cdot 8 = 192 \text{ см}^3$.

Ответ: Для первого параллелепипеда площадь полной поверхности $52 \text{ см}^2$, объем $24 \text{ см}^3$. Для второго параллелепипеда площадь полной поверхности $208 \text{ см}^2$, объем $192 \text{ см}^3$.

3) сравните объемы;

Сравним объемы: $V_1 = 24 \text{ см}^3$ и $V_2 = 192 \text{ см}^3$.
Найдем их отношение: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{192}{24} = 8$.
Объем второго параллелепипеда в 8 раз больше объема первого.

Ответ: Объем второго параллелепипеда ($192 \text{ см}^3$) в 8 раз больше объема первого ($24 \text{ см}^3$).

4) сделайте вывод и обоснуйте его.

Ребра второго параллелепипеда в 2 раза больше ребер первого ($k=2$).
Отношение площадей поверхностей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{208}{52} = 4 = 2^2 = k^2$.
Отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{192}{24} = 8 = 2^3 = k^3$.
Вывод: Если все ребра (линейные размеры) параллелепипеда увеличить в $k$ раз, то площадь его полной поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз.
Обоснование: Пусть исходные ребра $a, b, c$. Тогда $S = 2(ab+ac+bc)$ и $V=abc$. Новые ребра — $ka, kb, kc$. Тогда новая площадь $S' = 2((ka)(kb) + (ka)(kc) + (kb)(kc)) = k^2 \cdot 2(ab+ac+bc) = k^2S$. Новый объем $V' = (ka)(kb)(kc) = k^3(abc) = k^3V$.

Ответ: Вывод: при увеличении всех ребер параллелепипеда в $k$ раз, площадь его поверхности увеличивается в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз.