Номер 1.65, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65. Найдите координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями $y=2x-6$ и $y=-\frac{1}{2}x+1$.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо найти такое решение $(x; y)$, которое удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Для этого нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x - 6 \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части:

$2x - 6 = -\frac{1}{2}x + 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $x$. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую часть:

$2x + \frac{1}{2}x = 1 + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 7$

$\frac{5}{2}x = 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$x = 7 \cdot \frac{2}{5}$

$x = \frac{14}{5} = 2.8$

Теперь, зная координату $x$, мы можем найти координату $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Используем первое уравнение $y = 2x - 6$:

$y = 2 \cdot (\frac{14}{5}) - 6$

$y = \frac{28}{5} - 6$

Чтобы выполнить вычитание, представим $6$ как дробь со знаменателем $5$:

$y = \frac{28}{5} - \frac{30}{5}$

$y = -\frac{2}{5} = -0.4$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{14}{5}; -\frac{2}{5})$ или $(2.8; -0.4)$.

Для проверки можно подставить найденные координаты во второе уравнение $y = -\frac{1}{2}x + 1$:

$-\frac{2}{5} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{14}{5} + 1$

$-\frac{2}{5} = -\frac{14}{10} + 1$

$-\frac{2}{5} = -\frac{7}{5} + \frac{5}{5}$

$-\frac{2}{5} = -\frac{2}{5}$

Равенство верно, следовательно, координаты найдены правильно.

Ответ: $(2.8; -0.4)$.