Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Докажите, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство

$2^n + 2^n = 2^{n+1}$.

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Рассмотрим левую часть равенства: $2^n + 2^n$.
Это сумма двух одинаковых слагаемых, которую можно представить в виде произведения, вынеся общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 2^n \cdot (1 + 1)$

Выполним сложение в скобках:
$2^n \cdot (1 + 1) = 2^n \cdot 2$

Далее воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$). Учитывая, что $2$ можно представить как $2^1$, получаем:
$2^n \cdot 2^1 = 2^{n+1}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства $2^n + 2^n$ и получили в результате $2^{n+1}$, что в точности совпадает с правой частью равенства. Следовательно, равенство выполняется при любом натуральном $n$.

Ответ: Равенство доказано.

1.59. Определите знак выражения:

1) $a^{2n}$;

2) $a^{2n+1}$,

где $a<0$ и $n \geq 0$ – целое число.

1) $a^{2n}$

Для определения знака выражения $a^{2n}$ воспользуемся заданными условиями: $a < 0$ (число $a$ отрицательное) и $n$ — целое положительное число ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Рассмотрим показатель степени $2n$. Поскольку $n$ является целым положительным числом, произведение $2n$ всегда будет четным положительным числом. Например, если $n=1$, то $2n=2$; если $n=2$, то $2n=4$, и так далее.

Согласно правилу возведения в степень, любое отрицательное число, возведенное в четную степень, в результате дает положительное число. Это происходит потому, что при перемножении четного числа отрицательных сомножителей знаки «минус» попарно уничтожаются.

Например, $(-3)^2 = 9 > 0$, $(-3)^4 = 81 > 0$.

Также можно воспользоваться свойствами степеней: $a^{2n} = (a^2)^n$. Так как $a < 0$, то $a^2 = a \cdot a$ будет произведением двух отрицательных чисел, что дает положительный результат ($a^2 > 0$). Возведение положительного числа $a^2$ в любую целую положительную степень $n$ также дает положительное число.

Следовательно, выражение $a^{2n}$ всегда будет положительным.

Ответ: выражение $a^{2n}$ положительно (знак «+»).

2) $a^{2n+1}$

Теперь определим знак выражения $a^{2n+1}$ при тех же условиях: $a < 0$ и $n$ — целое положительное число.

Рассмотрим показатель степени $2n+1$. Поскольку $2n$ — это четное число, то $2n+1$ всегда будет нечетным числом. Так как $n$ — целое положительное число, $2n+1$ будет нечетным положительным числом (при $n=1$, показатель равен $3$; при $n=2$ — $5$; и так далее).

Согласно правилу возведения в степень, любое отрицательное число, возведенное в нечетную степень, в результате дает отрицательное число. При перемножении нечетного количества отрицательных сомножителей один знак «минус» всегда остается.

Например, $(-3)^3 = -27 < 0$, $(-3)^5 = -243 < 0$.

Также можно использовать свойство степеней: $a^{2n+1} = a^{2n} \cdot a^1 = a^{2n} \cdot a$. Из решения первого пункта мы знаем, что множитель $a^{2n}$ всегда положителен ($a^{2n} > 0$). Второй множитель $a$ по условию отрицателен ($a < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное всегда дает отрицательное число.

Следовательно, выражение $a^{2n+1}$ всегда будет отрицательным.

Ответ: выражение $a^{2n+1}$ отрицательно (знак «−»).

1.60. Упростите выражение:

1) $7^{n+2} : 7^n$

2) $10^{n+1} : 10^{n-1}$

3) $(-1)^n \cdot (-1)^n$

1) Чтобы упростить выражение $7^{n+2} : 7^n$, мы используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

В нашем случае основание $a=7$, первый показатель $m=n+2$, а второй показатель $k=n$.

Подставим значения в формулу:

$7^{n+2} : 7^n = 7^{(n+2) - n} = 7^{n+2-n} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49

2) Для выражения $10^{n+1} : 10^{n-1}$ применяется то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Здесь основание $a=10$, первый показатель $m=n+1$, а второй показатель $k=n-1$.

Выполним вычитание показателей:

$10^{n+1} : 10^{n-1} = 10^{(n+1) - (n-1)} = 10^{n+1-n+1} = 10^2 = 100$.

Ответ: 100

3) Чтобы упростить выражение $(-1)^n \cdot (-1)^n$, мы используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

В данном примере основание $a=-1$, а оба показателя равны $n$.

Выполним сложение показателей:

$(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{n+n} = (-1)^{2n}$.

Показатель степени $2n$ всегда является чётным числом при любом целом $n$. Число -1, возведенное в любую чётную степень, равно 1.

Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Ответ: 1

1.61. Докажите, что уравнение $x^4+4=0$ не имеет корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4+4=0$ не имеет действительных корней, можно рассмотреть его с нескольких точек зрения. Ниже приведены три способа доказательства.

Способ 1: Анализ области значений функции

Рассмотрим левую часть уравнения как функцию $f(x) = x^4+4$. Нам нужно доказать, что $f(x)$ никогда не равно нулю.
Слагаемое $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), возведенное в четную степень, дает в результате неотрицательное число. Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо неравенство:
$x^4 \ge 0$
Теперь рассмотрим всю левую часть уравнения. Если к неотрицательному числу $x^4$ прибавить положительное число 4, то результат всегда будет положительным. Точнее:
$x^4 + 4 \ge 0 + 4$
$x^4 + 4 \ge 4$
Это неравенство показывает, что наименьшее значение, которое может принять выражение $x^4+4$, равно 4 (это значение достигается при $x=0$). Поскольку левая часть уравнения всегда больше или равна 4, она никогда не может быть равна 0. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Способ 2: Прямое решение уравнения

Попробуем решить уравнение $x^4+4=0$ алгебраически.
Перенесем число 4 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x^4 = -4$
Это уравнение требует найти такое действительное число $x$, четвертая степень которого равна -4.
Однако, как мы установили в первом способе, $x^4$ не может быть отрицательным ни для какого действительного числа $x$. Левая часть уравнения ($x^4$) всегда неотрицательна, в то время как правая часть (-4) является отрицательным числом.
Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений среди действительных чисел.

Способ 3: Разложение на множители (метод выделения полного квадрата)

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы разложить ее на множители. Для этого воспользуемся приемом добавления и вычитания одного и того же слагаемого. Добавим и вычтем $4x^2$:
$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(x^2+2)^2$. Выражение $4x^2$ также является полным квадратом $(2x)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:
$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = 0$
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2+2$ и $b=2x$:
$((x^2+2) - 2x)((x^2+2) + 2x) = 0$
Упорядочим слагаемые в каждом множителе:
$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:
1) $x^2 - 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
2) $x^2 + 2x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.
Поскольку ни один из множителей не может обращаться в ноль при действительных значениях $x$, их произведение также никогда не будет равно нулю. Это доказывает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $x^4+4=0$ не имеет действительных корней, так как его левая часть $x^4+4$ при любом действительном $x$ принимает значение не менее 4, и, следовательно, не может быть равна нулю.

1.62. Упростите выражение:

1) $125m^4p^5 : (-0,25m^3p^2) : 25mp ; $

2) $0,125a^{n+13} \cdot b^{n+12} : \left(-\frac{1}{8}a^4b^3 : 5a^9b^5\right), n \in N.$

1) Чтобы упростить выражение $125m^4p^5 : (-0,25m^3p^2) : 25mp$, выполним деление одночленов последовательно, слева направо.

Первое действие — деление $125m^4p^5$ на $(-0,25m^3p^2)$:

$125m^4p^5 : (-0,25m^3p^2) = \frac{125}{-0,25} \cdot \frac{m^4}{m^3} \cdot \frac{p^5}{p^2}$

Для коэффициентов: $125 : (-0,25) = 125 : (-\frac{1}{4}) = -500$.

Для переменных используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:

$m^4 : m^3 = m^{4-3} = m^1 = m$

$p^5 : p^2 = p^{5-2} = p^3$

Результат первого действия: $-500mp^3$.

Второе действие — деление полученного результата на $25mp$:

$-500mp^3 : 25mp = \frac{-500}{25} \cdot \frac{m}{m} \cdot \frac{p^3}{p}$

Для коэффициентов: $-500 : 25 = -20$.

Для переменных:

$m : m = m^{1-1} = m^0 = 1$

$p^3 : p = p^{3-1} = p^2$

Собираем все вместе: $-20 \cdot 1 \cdot p^2 = -20p^2$.

Ответ: $-20p^2$.

2) Чтобы упростить выражение $0,125a^{n+13} \cdot b^{n+12} : \left(-\frac{1}{8}a^4b^3 : 5a^9b^5\right)$, необходимо сначала выполнить действие в скобках.

Выполним деление в скобках: $-\frac{1}{8}a^4b^3 : 5a^9b^5 = \frac{-\frac{1}{8}a^4b^3}{5a^9b^5}$.

Разделим числовые коэффициенты: $\frac{-1/8}{5} = -\frac{1}{8 \cdot 5} = -\frac{1}{40}$.

Разделим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:

$a^4 : a^9 = a^{4-9} = a^{-5}$

$b^3 : b^5 = b^{3-5} = b^{-2}$

Результат выражения в скобках: $-\frac{1}{40}a^{-5}b^{-2}$.

Теперь выполним основное действие деления. Заменим $0,125$ на дробь $\frac{1}{8}$:

$0,125a^{n+13}b^{n+12} : \left(-\frac{1}{40}a^{-5}b^{-2}\right) = \frac{\frac{1}{8}a^{n+13}b^{n+12}}{-\frac{1}{40}a^{-5}b^{-2}}$

Разделим коэффициенты: $\frac{1/8}{-1/40} = \frac{1}{8} \cdot (-40) = -5$.

Разделим переменные:

$a^{n+13} : a^{-5} = a^{(n+13) - (-5)} = a^{n+13+5} = a^{n+18}$

$b^{n+12} : b^{-2} = b^{(n+12) - (-2)} = b^{n+12+2} = b^{n+14}$

Объединяем полученные части:

Ответ: $-5a^{n+18}b^{n+14}$.

1.63. Представьте в виде квадрата или куба числа:

1) $-27$;

2) $1,69$;

3) $6,25$;

4) $-64$;

5) $-3\frac{3}{8}$;

6) $5\frac{4}{9}$.

1) Число $-27$ является отрицательным, поэтому оно не может быть представлено в виде квадрата действительного числа, так как квадрат любого действительного числа — число неотрицательное ($x^2 \ge 0$).
Проверим, является ли это число кубом. Для этого нужно найти такое число $x$, что $x^3 = -27$.
Мы знаем, что $3^3 = 27$. Проверим число $-3$:
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.
Следовательно, $-27$ можно представить как куб числа $-3$.
Ответ: $(-3)^3$

2) Число $1,69$ является положительным. Проверим, можно ли представить его в виде квадрата. Для этого нужно найти такое число $x$, что $x^2 = 1,69$.
Это равносильно нахождению квадратного корня: $x = \sqrt{1,69}$.
Так как $13^2 = 169$, можно предположить, что $x = 1,3$. Проверим:
$1,3^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$.
Следовательно, $1,69$ можно представить как квадрат числа $1,3$.
Ответ: $1,3^2$

3) Число $6,25$ является положительным. Проверим, можно ли представить его в виде квадрата. Для этого нужно найти такое число $x$, что $x^2 = 6,25$.
Это равносильно нахождению квадратного корня: $x = \sqrt{6,25}$.
Так как $25^2 = 625$, можно предположить, что $x = 2,5$. Проверим:
$2,5^2 = 2,5 \cdot 2,5 = 6,25$.
Следовательно, $6,25$ можно представить как квадрат числа $2,5$.
Ответ: $2,5^2$

4) Число $-64$ является отрицательным, поэтому оно не может быть представлено в виде квадрата действительного числа.
Проверим, является ли это число кубом. Для этого нужно найти такое число $x$, что $x^3 = -64$.
Мы знаем, что $4^3 = 64$. Проверим число $-4$:
$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$.
Следовательно, $-64$ можно представить как куб числа $-4$.
Ответ: $(-4)^3$

5) Сначала преобразуем смешанное число $-3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь:
$-3\frac{3}{8} = -(\frac{3 \cdot 8 + 3}{8}) = -\frac{27}{8}$.
Полученное число является отрицательным, поэтому оно не может быть квадратом действительного числа. Проверим, является ли оно кубом. Ищем такое число $x$, что $x^3 = -\frac{27}{8}$.
Так как $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$, то:
$-\frac{27}{8} = -\frac{3^3}{2^3} = -(\frac{3}{2})^3 = (-\frac{3}{2})^3$.
Следовательно, $-3\frac{3}{8}$ можно представить как куб числа $-\frac{3}{2}$.
Ответ: $(-\frac{3}{2})^3$

6) Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{4}{9}$ в неправильную дробь:
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.
Полученное число является положительным. Проверим, является ли оно квадратом. Ищем такое число $x$, что $x^2 = \frac{49}{9}$.
Так как $49 = 7^2$ и $9 = 3^2$, то:
$\frac{49}{9} = \frac{7^2}{3^2} = (\frac{7}{3})^2$.
Следовательно, $5\frac{4}{9}$ можно представить как квадрат числа $\frac{7}{3}$.
Ответ: $(\frac{7}{3})^2$

1.64. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y=2x-6$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо поочередно найти точки, в которых одна из координат равна нулю.

Пересечение с осью ординат (осью OY)

Точка пересечения с осью OY — это точка, у которой абсцисса (координата $x$) равна нулю. Чтобы найти ординату (координату $y$) этой точки, подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = 2x - 6$:

$y = 2 \cdot 0 - 6$

$y = 0 - 6$

$y = -6$

Таким образом, график функции пересекает ось OY в точке с координатами $(0; -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью OX)

Точка пересечения с осью OX — это точка, у которой ордината (координата $y$) равна нулю. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) этой точки, подставим $y = 0$ в уравнение функции $y = 2x - 6$:

$0 = 2x - 6$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем 6 в левую часть уравнения, изменив знак:

$6 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Таким образом, график функции пересекает ось OX в точке с координатами $(3; 0)$.

Ответ: координаты точек пересечения с осями координат: $(3; 0)$ и $(0; -6)$.

1.65. Найдите координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями $y=2x-6$ и $y=-\frac{1}{2}x+1$.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо найти такое решение $(x; y)$, которое удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Для этого нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x - 6 \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части:

$2x - 6 = -\frac{1}{2}x + 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $x$. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую часть:

$2x + \frac{1}{2}x = 1 + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 7$

$\frac{5}{2}x = 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$x = 7 \cdot \frac{2}{5}$

$x = \frac{14}{5} = 2.8$

Теперь, зная координату $x$, мы можем найти координату $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Используем первое уравнение $y = 2x - 6$:

$y = 2 \cdot (\frac{14}{5}) - 6$

$y = \frac{28}{5} - 6$

Чтобы выполнить вычитание, представим $6$ как дробь со знаменателем $5$:

$y = \frac{28}{5} - \frac{30}{5}$

$y = -\frac{2}{5} = -0.4$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{14}{5}; -\frac{2}{5})$ или $(2.8; -0.4)$.

Для проверки можно подставить найденные координаты во второе уравнение $y = -\frac{1}{2}x + 1$:

$-\frac{2}{5} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{14}{5} + 1$

$-\frac{2}{5} = -\frac{14}{10} + 1$

$-\frac{2}{5} = -\frac{7}{5} + \frac{5}{5}$

$-\frac{2}{5} = -\frac{2}{5}$

Равенство верно, следовательно, координаты найдены правильно.

Ответ: $(2.8; -0.4)$.

1.66. Три студента получили стипендию. Первый получил $0.9$ той суммы, которую получил второй студент, и еще 4200 тг, а третий студент получил $0.9$ той суммы, которую получил второй, и еще 1200 тг. Сколько тенге получил каждый студент, если известно, что второй и третий получили поровну?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это сумма стипендии в тенге (тг), которую получил второй студент.

Исходя из условий задачи, составим выражения для сумм стипендий первого и третьего студентов:

• Сумма, которую получил первый студент, составляет 0,9 от суммы второго и еще 4200 тг, то есть: $0.9x + 4200$.
• Сумма, которую получил третий студент, составляет 0,9 от суммы второго и еще 1200 тг, то есть: $0.9x + 1200$.

По условию, второй и третий студенты получили одинаковые суммы. Это значит, что сумма стипендии второго студента ($x$) равна сумме стипендии третьего студента ($0.9x + 1200$). На основе этого составим и решим уравнение:

$x = 0.9x + 1200$

Чтобы решить уравнение, перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$x - 0.9x = 1200$

$0.1x = 1200$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0,1:

$x = \frac{1200}{0.1}$

$x = 12000$

Таким образом, мы нашли, что сумма стипендии второго студента составляет 12000 тг. Теперь мы можем рассчитать, сколько получили остальные студенты.

Сумма стипендии второго студента

Как мы уже выяснили из решения уравнения, второй студент получил 12000 тг.

Сумма стипендии третьего студента

Согласно условию, он получил столько же, сколько и второй студент, то есть 12000 тг. Проверим это по формуле: $0.9 \cdot 12000 + 1200 = 10800 + 1200 = 12000$ тг. Расчет подтверждает условие.

Сумма стипендии первого студента

Его стипендия рассчитывается по формуле $0.9x + 4200$. Подставим наше значение $x = 12000$:

$0.9 \cdot 12000 + 4200 = 10800 + 4200 = 15000$ тг.

Ответ: первый студент получил 15000 тг, второй студент — 12000 тг, и третий студент — 12000 тг.