Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Выполните возведение в степень:

1) $(ab)^5$;

2) $(3x)^4$;

3) $(-5y)^3$;

4) $(-0,5pq)^4$;

5) $(xyz)^4$;

6) $(-2m)^6$;

7) $(4nk)^3$;

8) $(-0,2cd)^3$.

Для решения всех примеров используется свойство возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(abc...)^n = a^n b^n c^n ...$

1) Применим правило возведения произведения в степень:

$(ab)^5 = a^5 \cdot b^5 = a^5b^5$

Ответ: $a^5b^5$

2) Возводим каждый множитель в степень 4:

$(3x)^4 = 3^4 \cdot x^4$

Вычисляем значение $3^4$:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Следовательно, получаем:

$(3x)^4 = 81x^4$

Ответ: $81x^4$

3) Возводим каждый множитель в степень 3. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.

$(-5y)^3 = (-5)^3 \cdot y^3$

Вычисляем значение $(-5)^3$:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$

Следовательно, получаем:

$(-5y)^3 = -125y^3$

Ответ: $-125y^3$

4) Возводим каждый множитель в степень 4. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

$(-0,5pq)^4 = (-0,5)^4 \cdot p^4 \cdot q^4$

Вычисляем значение $(-0,5)^4$:

$(-0,5)^4 = (0,5)^4 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$

Следовательно, получаем:

$(-0,5pq)^4 = 0,0625p^4q^4$

Ответ: $0,0625p^4q^4$

5) Применим правило возведения произведения в степень для трех множителей:

$(xyz)^4 = x^4 \cdot y^4 \cdot z^4 = x^4y^4z^4$

Ответ: $x^4y^4z^4$

6) Возводим каждый множитель в степень 6. Так как степень четная, результат возведения отрицательного числа будет положительным.

$(-2m)^6 = (-2)^6 \cdot m^6$

Вычисляем значение $(-2)^6$:

$(-2)^6 = 2^6 = 64$

Следовательно, получаем:

$(-2m)^6 = 64m^6$

Ответ: $64m^6$

7) Возводим каждый множитель в степень 3:

$(4nk)^3 = 4^3 \cdot n^3 \cdot k^3$

Вычисляем значение $4^3$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Следовательно, получаем:

$(4nk)^3 = 64n^3k^3$

Ответ: $64n^3k^3$

8) Возводим каждый множитель в степень 3. Так как степень нечетная, результат возведения отрицательного числа будет отрицательным.

$(-0,2cd)^3 = (-0,2)^3 \cdot c^3 \cdot d^3$

Вычисляем значение $(-0,2)^3$:

$(-0,2)^3 = -(0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2) = -(0,04 \cdot 0,2) = -0,008$

Следовательно, получаем:

$(-0,2cd)^3 = -0,008c^3d^3$

Ответ: $-0,008c^3d^3$

1.68. Выполните возведение в степень:

1) $(xy)^4$;

2) $(-na)^3$;

3) $(10ab)^2$;

4) $(-5x)^4$;

5) $(mnk)^3$;

6) $(-3pq)^3$;

7) $(-2abxy)^4$;

8) $(-3px)^3$.

Для решения данных задач используется правило возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. Формула этого правила: $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.

Также необходимо помнить правило работы со знаками при возведении в степень: отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат (например, $(-x)^4 = x^4$), а возведенное в нечетную степень — отрицательный результат (например, $(-x)^3 = -x^3$).

1) При возведении произведения $(xy)$ в 4-ю степень, каждый множитель возводится в эту степень.
$(xy)^4 = x^4 y^4$
Ответ: $x^4 y^4$

2) При возведении в 3-ю степень выражения $(-na)$, мы возводим в куб каждый множитель: -1, n и a. Степень 3 нечетная, поэтому знак минус сохраняется.
$(-na)^3 = (-1)^3 \cdot n^3 \cdot a^3 = -n^3 a^3$
Ответ: $-n^3 a^3$

3) Возводим в квадрат выражение $(10ab)$. Каждый множитель возводится во 2-ю степень.
$(10ab)^2 = 10^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 100a^2 b^2$
Ответ: $100a^2 b^2$

4) Возводим в 4-ю степень выражение $(-5x)$. Степень 4 четная, поэтому отрицательный знак исчезает.
$(-5x)^4 = (-5)^4 \cdot x^4 = 625x^4$
Ответ: $625x^4$

5) При возведении произведения $(mnk)$ в 3-ю степень, каждый множитель возводится в эту степень.
$(mnk)^3 = m^3 n^3 k^3$
Ответ: $m^3 n^3 k^3$

6) При возведении в 3-ю степень выражения $(-3pq)$, мы возводим в куб каждый множитель: -3, p и q. Степень 3 нечетная, поэтому знак минус сохраняется.
$(-3pq)^3 = (-3)^3 \cdot p^3 \cdot q^3 = -27p^3 q^3$
Ответ: $-27p^3 q^3$

7) Возводим в 4-ю степень выражение $(-2abxy)$. Степень 4 четная, поэтому отрицательный знак исчезает.
$(-2abxy)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot b^4 \cdot x^4 \cdot y^4 = 16a^4 b^4 x^4 y^4$
Ответ: $16a^4 b^4 x^4 y^4$

8) При возведении в 3-ю степень выражения $(-3px)$, мы возводим в куб каждый множитель: -3, p и x. Степень 3 нечетная, поэтому знак минус сохраняется.
$(-3px)^3 = (-3)^3 \cdot p^3 \cdot x^3 = -27p^3 x^3$
Ответ: $-27p^3 x^3$

1.69. Вычислите:

1) $(2 \cdot 5)^4$;

2) $(2 \cdot 3)^3$;

3) $(2 \cdot 100)^2$;

4) $(7 \cdot 20)^2$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $(2 \cdot 5)^4$, необходимо сначала выполнить действие умножения в скобках, а затем возвести полученный результат в степень.
Вычисляем произведение в скобках:
$2 \cdot 5 = 10$
Теперь возводим полученное число в четвертую степень:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Таким образом, $(2 \cdot 5)^4 = 10000$.
Ответ: 10000

2) Для вычисления выражения $(2 \cdot 3)^3$ поступим аналогично.
Сначала выполним умножение в скобках:
$2 \cdot 3 = 6$
Затем возведем результат в третью степень (в куб):
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$
Таким образом, $(2 \cdot 3)^3 = 216$.
Ответ: 216

3) Чтобы вычислить $(2 \cdot 100)^2$, сначала найдем произведение в скобках.
$2 \cdot 100 = 200$
Теперь возведем результат во вторую степень (в квадрат):
$200^2 = 200 \cdot 200 = 40000$
Таким образом, $(2 \cdot 100)^2 = 40000$.
Ответ: 40000

4) Для вычисления $(7 \cdot 20)^2$ сначала выполним умножение в скобках.
$7 \cdot 20 = 140$
Теперь возведем результат в квадрат:
$140^2 = 140 \cdot 140 = 19600$
Таким образом, $(7 \cdot 20)^2 = 19600$.
Ответ: 19600

1.70. Выполните возведение в степень:

1) $(a^3)^3;$

2) $(x^5)^2;$

3) $(y^2)^5;$

4) $(c^3)^4;$

5) $(b^3)^2;$

6) $(b^4)^4;$

7) $(m^7)^2;$

8) $(p^5)^6.$

Для решения данных задач используется свойство степени: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула этого свойства выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) Чтобы возвести $(a^3)$ в степень 3, нужно основание $a$ оставить без изменений, а показатели степеней 3 и 3 перемножить.
$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$
Ответ: $a^9$.

2) Чтобы возвести $(x^5)$ в степень 2, нужно основание $x$ оставить без изменений, а показатели степеней 5 и 2 перемножить.
$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$
Ответ: $x^{10}$.

3) Чтобы возвести $(y^2)$ в степень 5, нужно основание $y$ оставить без изменений, а показатели степеней 2 и 5 перемножить.
$(y^2)^5 = y^{2 \cdot 5} = y^{10}$
Ответ: $y^{10}$.

4) Чтобы возвести $(c^3)$ в степень 4, нужно основание $c$ оставить без изменений, а показатели степеней 3 и 4 перемножить.
$(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$
Ответ: $c^{12}$.

5) Чтобы возвести $(b^3)$ в степень 2, нужно основание $b$ оставить без изменений, а показатели степеней 3 и 2 перемножить.
$(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$
Ответ: $b^6$.

6) Чтобы возвести $(b^4)$ в степень 4, нужно основание $b$ оставить без изменений, а показатели степеней 4 и 4 перемножить.
$(b^4)^4 = b^{4 \cdot 4} = b^{16}$
Ответ: $b^{16}$.

7) Чтобы возвести $(m^7)$ в степень 2, нужно основание $m$ оставить без изменений, а показатели степеней 7 и 2 перемножить.
$(m^7)^2 = m^{7 \cdot 2} = m^{14}$
Ответ: $m^{14}$.

8) Чтобы возвести $(p^5)$ в степень 6, нужно основание $p$ оставить без изменений, а показатели степеней 5 и 6 перемножить.
$(p^5)^6 = p^{5 \cdot 6} = p^{30}$
Ответ: $p^{30}$.

1.71. Выполните возведение в степень:

1) $\left(\frac{xy}{a}\right)^5$;

2) $\left(-\frac{c}{ab}\right)^3$;

3) $\left(\frac{x^2y}{ab}\right)^4$;

4) $\left(\frac{an}{m}\right)^7$;

5) $\left(\frac{p^2}{q^3}\right)^3$;

6) $\left(-\frac{y}{x}\right)^5$;

7) $\left(\frac{xy}{bc}\right)^3$;

8) $\left(-\frac{2ab}{3x}\right)^5$.

1) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Также, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель.
$(\frac{xy}{a})^5 = \frac{(xy)^5}{a^5} = \frac{x^5y^5}{a^5}$
Ответ: $\frac{x^5y^5}{a^5}$

2) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным, так как $(-1)^3 = -1$.
$(-\frac{c}{ab})^3 = -(\frac{c}{ab})^3 = -\frac{c^3}{(ab)^3} = -\frac{c^3}{a^3b^3}$
Ответ: $-\frac{c^3}{a^3b^3}$

3) Применяем правило возведения дроби в степень: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$. Затем применяем правило возведения произведения в степень: $(AB)^n = A^nB^n$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(\frac{x^2y}{ab})^4 = \frac{(x^2y)^4}{(ab)^4} = \frac{(x^2)^4y^4}{a^4b^4} = \frac{x^{2 \cdot 4}y^4}{a^4b^4} = \frac{x^8y^4}{a^4b^4}$
Ответ: $\frac{x^8y^4}{a^4b^4}$

4) Возводим в степень числитель и знаменатель дроби, а затем каждый множитель в числителе.
$(\frac{an}{m})^7 = \frac{(an)^7}{m^7} = \frac{a^7n^7}{m^7}$
Ответ: $\frac{a^7n^7}{m^7}$

5) При возведении дроби, содержащей степени, в степень, показатели степеней в числителе и знаменателе умножаются на показатель степени, в которую возводится дробь.
$(\frac{p^2}{q^3})^3 = \frac{(p^2)^3}{(q^3)^3} = \frac{p^{2 \cdot 3}}{q^{3 \cdot 3}} = \frac{p^6}{q^9}$
Ответ: $\frac{p^6}{q^9}$

6) Так как степень нечетная (5), знак минус сохраняется в итоговом выражении.
$(\frac{-y}{x})^5 = (-\frac{y}{x})^5 = -\frac{y^5}{x^5}$
Ответ: $-\frac{y^5}{x^5}$

7) Возводим в степень числитель и знаменатель дроби. В числителе и знаменателе возводим в степень каждый множитель.
$(\frac{xy}{bc})^3 = \frac{(xy)^3}{(bc)^3} = \frac{x^3y^3}{b^3c^3}$
Ответ: $\frac{x^3y^3}{b^3c^3}$

8) Степень нечетная (5), поэтому знак минус сохраняется. Возводим в степень числовые коэффициенты, а также переменные в числителе и знаменателе.
$(-\frac{2ab}{3x})^5 = -(\frac{2ab}{3x})^5 = -\frac{(2ab)^5}{(3x)^5} = -\frac{2^5a^5b^5}{3^5x^5} = -\frac{32a^5b^5}{243x^5}$
Ответ: $-\frac{32a^5b^5}{243x^5}$

1.72. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^4 y^4$;

2) $a^3 x^3 y^3$;

3) $81c^4$;

4) $b^6 x^6$;

5) $(-m)^4 \cdot n^4$;

6) $0,0016 \cdot p^4$.

1) Для того чтобы представить произведение $a^4y^4$ в виде степени, используется свойство степени произведения: $x^n y^n = (xy)^n$. В данном выражении основаниями являются $a$ и $y$, а общим показателем степени является 4. Применяя это свойство, мы перемножаем основания и возводим результат в общую степень.

$a^4y^4 = (a \cdot y)^4 = (ay)^4$

Ответ: $(ay)^4$

2) В выражении $a^3x^3y^3$ все три множителя ($a$, $x$, и $y$) возведены в одну и ту же степень 3. Свойство степени произведения применимо и для трех и более множителей: $x^n y^n z^n = (xyz)^n$.

$a^3x^3y^3 = (a \cdot x \cdot y)^3 = (axy)^3$

Ответ: $(axy)^3$

3) В выражении $81c^4$ множитель $c$ находится в четвертой степени. Чтобы представить все произведение в виде степени с показателем 4, необходимо представить числовой коэффициент 81 как число в четвертой степени. Найдем такое число: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Теперь заменим число 81 на $3^4$ в исходном выражении:

$81c^4 = 3^4c^4$

Используя свойство степени произведения $x^n y^n = (xy)^n$, получаем:

$3^4c^4 = (3c)^4$

Ответ: $(3c)^4$

4) В произведении $b^6x^6$ оба множителя, $b$ и $x$, имеют одинаковый показатель степени 6. Применяем то же свойство степени произведения.

$b^6x^6 = (b \cdot x)^6 = (bx)^6$

Ответ: $(bx)^6$

5) В выражении $(-m)^4 \cdot n^4$ основаниями являются $(-m)$ и $n$, и оба возведены в степень 4. Применим свойство степени произведения:

$(-m)^4 \cdot n^4 = ((-m) \cdot n)^4 = (-mn)^4$

Следует отметить, что так как показатель степени 4 является четным числом, то $(-m)^4 = m^4$. Поэтому выражение также можно записать в виде $m^4n^4 = (mn)^4$. Оба ответа, $(-mn)^4$ и $(mn)^4$, эквивалентны.

Ответ: $(-mn)^4$

6) Чтобы представить произведение $0,0016 \cdot p^4$ в виде степени, нужно представить десятичную дробь 0,0016 как число в четвертой степени. Мы знаем, что $16 = 2^4$. Число 0,0016 имеет четыре знака после запятой, что позволяет предположить, что основание степени будет иметь один знак после запятой. Проверим число 0,2:

$(0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.

Таким образом, $0,0016 = (0,2)^4$. Подставим это значение в исходное выражение:

$0,0016 \cdot p^4 = (0,2)^4 \cdot p^4$

Применив свойство степени произведения, получим:

$(0,2)^4 p^4 = (0,2p)^4$

Ответ: $(0,2p)^4$