Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу для умножения степеней с одинаковыми показателями и сформулируйте соответствующее правило.

$a^n \cdot b^n = (ab)^n$

2. Напишите формулу для деления степеней с одинаковыми показателями и сформулируйте соответствующее правило.

$a^n / b^n = (\frac{a}{b})^n$

3. Докажите формулу (1).

4. Докажите формулу (2).

5. Чему равна степень числа, не равного нулю, с нулевым показателем?

6. Имеет ли смысл выражение $0^0$?

Как можно определить цифру степени числа с натуральным показателем, который оканчивается цифрой: 1) 3; 2) 4; 3) 7; 4) 8? Покажите алгоритм нахождения последней цифры.

1. Формула для умножения степеней с одинаковыми показателями выглядит следующим образом:
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$
Правило: Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменений. Результат произведения возводится в ту же степень.

Ответ: Формула: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Правило: при умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются, а показатель остается прежним.

2. Формула для деления степеней с одинаковыми показателями выглядит следующим образом (при условии, что делитель не равен нулю, т.е. $b \neq 0$):
$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$
Правило: Чтобы разделить одну степень на другую с одинаковыми показателями, нужно разделить их основания, а показатель степени оставить без изменений. Результат частного возводится в ту же степень.

Ответ: Формула: $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ (где $b \neq 0$). Правило: при делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся, а показатель остается прежним.

3. Доказательство формулы $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
По определению степени, $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Аналогично, $b^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $b$.
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$
$b^n = \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}$
Рассмотрим произведение $a^n \cdot b^n$:
$a^n \cdot b^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}})$
Используя переместительный и сочетательный законы умножения, сгруппируем множители попарно:
$a^n \cdot b^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ раз}}$
По определению степени, это выражение равно $(a \cdot b)^n$.
Таким образом, $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана на основе определения степени и свойств умножения.

4. Доказательство формулы $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ (при $b \neq 0$).
По определению степени, запишем числитель и знаменатель в виде произведений:
$\frac{a^n}{b^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}}$
Данную дробь можно представить как произведение $n$ дробей:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right) \cdot \left(\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{a}{b}\right)}_{n \text{ раз}}$
По определению степени, это произведение равно $\left(\frac{a}{b}\right)^n$.
Таким образом, $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана на основе определения степени и правил действий с дробями.

5. Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.
$a^0 = 1$ (при $a \neq 0$)
Это можно показать, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Если взять $m = n$ (при $a \neq 0$), то с одной стороны:
$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$
С другой стороны, любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1:
$\frac{a^n}{a^n} = 1$
Следовательно, $a^0 = 1$.

Ответ: Степень числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна 1.

6. Выражение $0^0$ в стандартной алгебре и математическом анализе считается неопределенностью и не имеет определенного значения.
Причина в том, что разные подходы приводят к разным результатам:
1. Если рассматривать правило $a^0 = 1$, то $0^0$ должно быть равно 1.
2. Если рассматривать правило $0^n = 0$ (для $n > 0$), то $0^0$ должно быть равно 0.
Из-за этого противоречия выражение $0^0$ оставляют неопределенным. В некоторых узких областях математики, например, в комбинаторике, его по соглашению принимают равным 1 для удобства формул, но это не является общепринятым определением.

Ответ: Нет, выражение $0^0$ не имеет смысла в общем случае и является математической неопределенностью.

ПЗ. Последняя цифра степени натурального числа зависит только от последней цифры самого числа. Для нахождения этой цифры используется свойство цикличности. Последние цифры степеней повторяются с определенным периодом (циклом).

Общий алгоритм нахождения последней цифры числа $N^k$:
1. Определить последнюю цифру основания $N$. Обозначим ее $d$.
2. Найти последовательность последних цифр степеней $d^1, d^2, d^3, \dots$ и определить длину цикла $p$.
3. Найти остаток от деления показателя степени $k$ на длину цикла $p$. Обозначим его $r = k \pmod p$.
4. Если остаток $r$ не равен 0, то последняя цифра $N^k$ совпадает с $r$-ым элементом цикла.
5. Если остаток $r$ равен 0, это означает, что цикл завершается полностью. В этом случае последняя цифра $N^k$ совпадает с последним, $p$-ым, элементом цикла.

Рассмотрим конкретные случаи:

1) Число оканчивается на 3:
Последовательность последних цифр степеней: $3^1 \to 3$, $3^2 \to 9$, $3^3 \to 7$, $3^4 \to 1$, $3^5 \to 3, \ldots$
Цикл: (3, 9, 7, 1). Длина цикла $p=4$.
Алгоритм: Находим остаток $r$ от деления показателя степени $k$ на 4.
- Если $r=1$, последняя цифра - 3.
- Если $r=2$, последняя цифра - 9.
- Если $r=3$, последняя цифра - 7.
- Если $r=0$, последняя цифра - 1.

2) Число оканчивается на 4:
Последовательность последних цифр степеней: $4^1 \to 4$, $4^2 \to 6$, $4^3 \to 4, \ldots$
Цикл: (4, 6). Длина цикла $p=2$.
Алгоритм: Смотрим на четность показателя степени $k$.
- Если $k$ - нечетное, последняя цифра - 4.
- Если $k$ - четное, последняя цифра - 6.

3) Число оканчивается на 7:
Последовательность последних цифр степеней: $7^1 \to 7$, $7^2 \to 9$, $7^3 \to 3$, $7^4 \to 1$, $7^5 \to 7, \ldots$
Цикл: (7, 9, 3, 1). Длина цикла $p=4$.
Алгоритм: Находим остаток $r$ от деления показателя степени $k$ на 4.
- Если $r=1$, последняя цифра - 7.
- Если $r=2$, последняя цифра - 9.
- Если $r=3$, последняя цифра - 3.
- Если $r=0$, последняя цифра - 1.

4) Число оканчивается на 8:
Последовательность последних цифр степеней: $8^1 \to 8$, $8^2 \to 4$, $8^3 \to 2$, $8^4 \to 6$, $8^5 \to 8, \ldots$
Цикл: (8, 4, 2, 6). Длина цикла $p=4$.
Алгоритм: Находим остаток $r$ от деления показателя степени $k$ на 4.
- Если $r=1$, последняя цифра - 8.
- Если $r=2$, последняя цифра - 4.
- Если $r=3$, последняя цифра - 2.
- Если $r=0$, последняя цифра - 6.

Ответ: Для определения последней цифры степени используется алгоритм, основанный на цикличности последних цифр. Необходимо найти длину цикла для последней цифры основания и затем найти остаток от деления показателя степени на длину этого цикла. Остаток укажет на позицию в цикле, которая и определит искомую последнюю цифру.

1.34. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^3 \cdot a^4;$

2) $a \cdot a^5;$

3) $x^5 \cdot x^3;$

4) $0.5^3 \cdot 0.5^7;$

5) $\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4;$

6) $p^2 \cdot p^3;$

7) $q^4 \cdot q^5;$

8) $y^3 \cdot y^5.$

Для решения всех пунктов используется основное свойство степени: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается без изменений. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1) В выражении $a^3 \cdot a^4$ основание равно $a$, а показатели степеней — 3 и 4. Применяя свойство умножения степеней, складываем показатели: $3+4=7$.
$a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$.
Ответ: $a^7$

2) В выражении $a \cdot a^5$ первый множитель $a$ можно записать как $a^1$. Основание степени равно $a$, а показатели — 1 и 5. Складываем показатели: $1+5=6$.
$a \cdot a^5 = a^1 \cdot a^5 = a^{1+5} = a^6$.
Ответ: $a^6$

3) В выражении $x^5 \cdot x^3$ основание равно $x$, а показатели — 5 и 3. Складываем показатели степеней: $5+3=8$.
$x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8$.
Ответ: $x^8$

4) В выражении $0.5^3 \cdot 0.5^7$ основание равно $0.5$, а показатели — 3 и 7. Складываем показатели: $3+7=10$.
$0.5^3 \cdot 0.5^7 = 0.5^{3+7} = 0.5^{10}$.
Ответ: $0.5^{10}$

5) В выражении $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^4$ основание равно $\frac{1}{2}$. Первый множитель $(\frac{1}{2})$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $(\frac{1}{2})^1$. Показатели степеней — 1 и 4. Складываем показатели: $1+4=5$.
$(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{1+4} = (\frac{1}{2})^5$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^5$

6) В выражении $p^2 \cdot p^3$ основание равно $p$, а показатели — 2 и 3. Складываем показатели: $2+3=5$.
$p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.
Ответ: $p^5$

7) В выражении $q^4 \cdot q^5$ основание равно $q$, а показатели — 4 и 5. Складываем показатели: $4+5=9$.
$q^4 \cdot q^5 = q^{4+5} = q^9$.
Ответ: $q^9$

8) В выражении $y^3 \cdot y^5$ основание равно $y$, а показатели — 3 и 5. Складываем показатели: $3+5=8$.
$y^3 \cdot y^5 = y^{3+5} = y^8$.
Ответ: $y^8$