Страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Представьте произведение в виде степени:

1) $\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\text{20 множителей}};$

2) $(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)$;

3) $(x-y)(x-y)(x-y)$;

4) $\underbrace{(a+b)(a+b)\ldots(a+b)}_{n \text{ множителей}}$.

1) Представление произведения одинаковых множителей в виде степени означает запись этого произведения в компактной форме. Основанием степени является сам множитель, а показателем степени — количество раз, которое этот множитель повторяется в произведении. В данном случае множитель $x$ повторяется 20 раз.
Следовательно, основание степени — это $x$, а показатель — 20.
Ответ: $x^{20}$

2) В этом произведении множитель $(-a)$ повторяется 5 раз. Таким образом, основание степени — это $(-a)$, а показатель степени — 5. Важно взять основание в скобки, чтобы показать, что в степень возводится все выражение, включая знак минус.
Ответ: $(-a)^5$

3) Здесь в качестве множителя выступает выражение $(x-y)$. Мы видим, что оно умножается само на себя 3 раза. Значит, основание степени — это $(x-y)$, а показатель степени — 3.
Ответ: $(x-y)^3$

4) В этом произведении множителем является выражение $(a+b)$. По условию, оно повторяется $n$ раз. Следовательно, основание степени — это $(a+b)$, а показатель степени — $n$.
Ответ: $(a+b)^n$

1.13. Представьте число в виде степени с основанием 5:

25

125

625

15625

25
Чтобы представить число 25 в виде степени с основанием 5, необходимо найти такой показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $5^x = 25$. Мы знаем, что $5 \times 5 = 25$. Следовательно, 5 нужно возвести во вторую степень.
Ответ: $25 = 5^2$.

125
Для числа 125 ищем такой показатель степени $x$, что $5^x = 125$. Можно разложить число 125 на множители: $125 = 5 \times 25$. Так как из предыдущего пункта известно, что $25 = 5^2$, то мы можем записать: $125 = 5^1 \times 5^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $5^{1+2} = 5^3$.
Ответ: $125 = 5^3$.

625
Для числа 625 ищем показатель степени $x$ в выражении $5^x = 625$. Число 625 можно представить как произведение $25 \times 25$. Используя известный результат $25 = 5^2$, получаем: $625 = 5^2 \times 5^2$. Складывая показатели степеней, получаем $5^{2+2} = 5^4$. Также можно было умножить предыдущий результат на 5: $125 \times 5 = 625$, что соответствует $5^3 \times 5^1 = 5^4$.
Ответ: $625 = 5^4$.

15625
Для числа 15625 ищем показатель степени $x$ так, чтобы $5^x = 15625$. Можно заметить, что число 15625 оканчивается на 25, значит оно делится на 25. Разделив, получим: $15625 \div 25 = 625$. Таким образом, $15625 = 625 \times 25$. Подставляя ранее найденные степени, имеем: $15625 = 5^4 \times 5^2$. Применяя свойство степеней, получаем $5^{4+2} = 5^6$.
Ответ: $15625 = 5^6$.

1.14. Представьте число в виде квадрата или куба числа.

1) 27;

2) 25;

3) -125;

4) 64;

5) 0,001;

6) $1 \frac{11}{25}$.

1) 27

Чтобы представить число 27 в виде квадрата или куба, ищем число, которое при возведении во вторую или третью степень даст 27. Число 27 не является квадратом целого числа. Проверим, является ли оно кубом. Подбирая число, находим, что $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Следовательно, 27 является кубом числа 3.
$27 = 3^3$.
Ответ: $3^3$.

2) 25

Ищем число, которое в квадрате или кубе равно 25. Мы знаем из таблицы умножения, что $5 \cdot 5 = 25$. Таким образом, 25 — это квадрат числа 5. Кубом целого числа 25 не является.
$25 = 5^2$.
Ответ: $5^2$.

3) -125

Нужно найти число, квадрат или куб которого равен -125. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому ищем число, куб которого равен -125. Так как $5^3 = 125$, то куб отрицательного числа будет отрицательным: $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.
$-125 = (-5)^3$.
Ответ: $(-5)^3$.

4) 64

Для числа 64 можно найти как квадратный, так и кубический корень.
1. Как квадрат числа: $8 \cdot 8 = 64$. Таким образом, $64 = 8^2$.
2. Как куб числа: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$. Таким образом, $64 = 4^3$.
Оба варианта являются верными.
Ответ: $8^2$ или $4^3$.

5) 0,001

Представим десятичную дробь 0,001 в виде обыкновенной: $0,001 = \frac{1}{1000}$. Теперь найдем число, квадрат или куб которого равен этому значению. Квадратный корень из $\frac{1}{1000}$ не является рациональным числом. Найдем кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Проверка: $(0,1)^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Ответ: $(0,1)^3$.

6) $1\frac{11}{25}$

Сначала представим смешанное число $1\frac{11}{25}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$.
Теперь нужно представить дробь $\frac{36}{25}$ в виде квадрата или куба. Ищем квадратный корень из дроби: $\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$.
Таким образом, $\frac{36}{25}$ является квадратом числа $\frac{6}{5}$.
$1\frac{11}{25} = \frac{36}{25} = (\frac{6}{5})^2$.
Ответ: $(\frac{6}{5})^2$.

1.15. Упростите выражение:

1) $a^2 + a^2$;

2) $x^2 + x^2 + x^2$;

3) $m^5 + m^5 + m^5$;

4) $bb + bb + bb$;

5) $xxx + xxx$;

6) $aa + aa + bbb + bbb$;

7) $\frac{xx + xx + xx}{yyy + yyy}$.

1) Чтобы упростить выражение $a^2 + a^2$, нужно сложить подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называют слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае оба слагаемых $a^2$ подобны. Складываем их коэффициенты (которые равны 1):

$a^2 + a^2 = 1 \cdot a^2 + 1 \cdot a^2 = (1+1)a^2 = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.

2) В выражении $x^2 + x^2 + x^2$ все три слагаемых являются подобными. Суммируем их:

$x^2 + x^2 + x^2 = 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x^2 = (1+1+1)x^2 = 3x^2$.

Ответ: $3x^2$.

3) Аналогично предыдущим примерам, слагаемые $m^5$, $m^5$ и $m^5$ подобны. Находим их сумму:

$m^5 + m^5 + m^5 = (1+1+1)m^5 = 3m^5$.

Ответ: $3m^5$.

4) В алгебре запись $bb$ означает произведение $b \cdot b$, что равносильно $b^2$. Таким образом, исходное выражение можно переписать:

$bb + bb + bb = b^2 + b^2 + b^2$.

Это сумма трех подобных слагаемых, которая равна $3b^2$.

Ответ: $3b^2$.

5) Запись $xxx$ означает произведение $x \cdot x \cdot x$, то есть $x^3$. Перепишем выражение:

$xxx + xxx = x^3 + x^3$.

Складываем подобные слагаемые: $x^3 + x^3 = 2x^3$.

Ответ: $2x^3$.

6) В выражении $aa + aa + bbb + bbb$ есть две группы подобных слагаемых. Сначала преобразуем запись: $aa = a^2$ и $bbb = b^3$. Выражение принимает вид:

$a^2 + a^2 + b^3 + b^3$.

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые по отдельности:

$(a^2 + a^2) + (b^3 + b^3) = 2a^2 + 2b^3$.

Так как слагаемые $2a^2$ и $2b^3$ имеют разные буквенные части, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $2a^2 + 2b^3$.

7) Для упрощения дроби $\frac{xx + xx + xx}{yyy + yyy}$ необходимо сначала упростить ее числитель и знаменатель.

Упростим числитель: $xx + xx + xx = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.

Упростим знаменатель: $yyy + yyy = y^3 + y^3 = 2y^3$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{3x^2}{2y^3}$.

Эта дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей (кроме 1).

Ответ: $\frac{3x^2}{2y^3}$.

1.16. Запишите степень в виде произведения:

1) $a^2$

2) $(-b)^3$

3) $ax^2$

4) $(ax)^2$

5) $(-my)^4$

6) $-my^4$

1) a²; По определению степени, выражение $a^2$ представляет собой произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен основанию $a$. Таким образом, $a^2 = a \cdot a$.

Ответ: $a \cdot a$.

2) (-b)³; Основанием степени является выражение в скобках $(-b)$, а показатель степени равен 3. Следовательно, необходимо умножить $(-b)$ само на себя три раза: $(-b)^3 = (-b) \cdot (-b) \cdot (-b)$.

Ответ: $(-b) \cdot (-b) \cdot (-b)$.

3) ax²; В данном выражении показатель степени 2 относится только к основанию $x$. Множитель $a$ не возводится в степень. Таким образом, выражение представляет собой произведение $a$ и двух множителей $x$: $ax^2 = a \cdot x \cdot x$.

Ответ: $a \cdot x \cdot x$.

4) (ax)²; Здесь основанием степени является всё выражение в скобках $(ax)$, а показатель равен 2. Это означает, что нужно перемножить два множителя, равных $(ax)$: $(ax)^2 = (ax) \cdot (ax)$.

Ответ: $(ax) \cdot (ax)$.

5) (-my)⁴; Основанием степени является выражение $(-my)$, а показатель степени равен 4. Это значит, что необходимо записать произведение четырех множителей, каждый из которых равен $(-my)$: $(-my)^4 = (-my) \cdot (-my) \cdot (-my) \cdot (-my)$.

Ответ: $(-my) \cdot (-my) \cdot (-my) \cdot (-my)$.

6) -my⁴. В этом выражении показатель степени 4 относится только к основанию $y$. Множитель $-m$ не возводится в степень. Следовательно, выражение равно произведению $-m$ и четырех множителей $y$: $-my^4 = -m \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$.

Ответ: $-m \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$.

1.17. Найдите значение выражения:

1) $3a^2-2b^3$ при $a=-17$, $b=-2$;

2) $5x^2y^3 + 4(x-y)$ при $x=-\frac{1}{2}$, $y=-1$;

3) $m^2+2mn+n^2$ при $m=-5$, $n=4$;

4) $3pq^2-2p^2q$ при $p=-4$, $q=3$.

1) Найдем значение выражения $3a^2-2b^3$ при $a=-17$ и $b=-2$.

Сначала подставим заданные значения переменных $a$ и $b$ в выражение:

$3 \cdot (-17)^2 - 2 \cdot (-2)^3$

Теперь выполним вычисления по порядку действий. Сначала возведение в степень:

$(-17)^2 = 289$

$(-2)^3 = -8$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$3 \cdot 289 - 2 \cdot (-8)$

Далее выполним умножение:

$3 \cdot 289 = 867$

$2 \cdot (-8) = -16$

И, наконец, выполним вычитание:

$867 - (-16) = 867 + 16 = 883$

Ответ: 883

2) Найдем значение выражения $5x^2y^3 + 4(x - y)$ при $x = -\frac{1}{2}$ и $y = -1$.

Подставим значения $x$ и $y$ в выражение:

$5 \cdot (-\frac{1}{2})^2 \cdot (-1)^3 + 4 \cdot (-\frac{1}{2} - (-1))$

Вычислим значения в скобках и степени:

$(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$(-1)^3 = -1$

$-\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Подставим эти результаты в выражение:

$5 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$-\frac{5}{4} + 2$

Приведем к общему знаменателю и сложим:

$-\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{-5+8}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) Найдем значение выражения $m^2+2mn+n^2$ при $m=-5$ и $n=4$.

Заметим, что данное выражение является формулой квадрата суммы: $m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2$.

Это позволяет упростить вычисления. Подставим значения $m$ и $n$ в свернутую формулу:

$(-5 + 4)^2$

Сначала выполним сложение в скобках:

$(-1)^2$

Затем возведем в квадрат:

$(-1)^2 = 1$

Ответ: 1

4) Найдем значение выражения $3pq^2-2p^2q$ при $p=-4$ и $q=3$.

Для упрощения вычислений вынесем за скобки общий множитель $pq$:

$3pq^2-2p^2q = pq(3q - 2p)$

Теперь подставим значения $p$ и $q$ в полученное выражение:

$(-4) \cdot 3 \cdot (3 \cdot 3 - 2 \cdot (-4))$

Выполним действия по порядку:

$-12 \cdot (9 - (-8))$

$-12 \cdot (9 + 8)$

$-12 \cdot 17$

$-12 \cdot 17 = -204$

Ответ: -204

1.18. Вычислите значение выражения $x^n+y^n$ при $x=-2, y=3, n=4$.

1.18.

Для того чтобы вычислить значение выражения $x^n + y^n$, необходимо подставить в него заданные значения переменных: $x = -2$, $y = 3$ и $n = 4$.

Подставляем значения в выражение:

$x^n + y^n = (-2)^4 + 3^4$

Теперь вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое: $(-2)^4$. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат.

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$

Второе слагаемое: $3^4$.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

Теперь сложим полученные результаты:

$16 + 81 = 97$

Ответ: 97

1.19. Вычислите:

1) $-5^2+(-2)^4;$

2) $3^4-\left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot 6\frac{1}{4};$

3) $0,2 \cdot 5^3-0,4 \cdot 2^4;$

4) $8 \cdot 0,5^3+125 \cdot 0,2^2.$

1) $-5^2+(-2)^4$

Сначала выполним возведение в степень, соблюдая порядок действий. В выражении $-5^2$ в квадрат возводится только число 5, знак минус к степени не относится. В выражении $(-2)^4$ в степень возводится основание -2.

1. Вычисляем $-5^2$:
$-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$.

2. Вычисляем $(-2)^4$:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.

3. Складываем полученные результаты:
$-25 + 16 = -9$.

Ответ: -9

2) $3^4 - (\frac{2}{5})^2 \cdot 6\frac{1}{4}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Вычисляем $3^4$:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

2. Вычисляем $(\frac{2}{5})^2$:
$(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.

3. Преобразуем смешанное число $6\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

4. Выполняем умножение:
$\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{4} = 1$.

5. Выполняем вычитание:
$81 - 1 = 80$.

Ответ: 80

3) $0,2 \cdot 5^3 - 0,4 \cdot 2^4$

Выполняем действия по порядку: сначала возведение в степень, затем умножение в каждом слагаемом, и в конце вычитание.

1. Вычисляем первое слагаемое $0,2 \cdot 5^3$:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$0,2 \cdot 125 = 25$.

2. Вычисляем второе слагаемое $0,4 \cdot 2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
$0,4 \cdot 16 = 6,4$.

3. Выполняем вычитание:
$25 - 6,4 = 18,6$.

Ответ: 18,6

4) $8 \cdot 0,5^3 + 125 \cdot 0,2^2$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных, а целые числа в виде степеней.

1. Преобразуем числа:
$8 = 2^3$
$0,5 = \frac{1}{2}$
$125 = 5^3$
$0,2 = \frac{1}{5}$

2. Подставляем преобразованные значения в исходное выражение:
$8 \cdot 0,5^3 + 125 \cdot 0,2^2 = 2^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 5^3 \cdot (\frac{1}{5})^2$.

3. Упрощаем первое слагаемое, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратную сторону:
$2^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = (2 \cdot \frac{1}{2})^3 = 1^3 = 1$.

4. Упрощаем второе слагаемое, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^3 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 5^3 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

5. Складываем полученные результаты:
$1 + 5 = 6$.

Ответ: 6