Номер 1.19, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Вычислите:

1) $-5^2+(-2)^4;$

2) $3^4-\left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot 6\frac{1}{4};$

3) $0,2 \cdot 5^3-0,4 \cdot 2^4;$

4) $8 \cdot 0,5^3+125 \cdot 0,2^2.$

1) $-5^2+(-2)^4$

Сначала выполним возведение в степень, соблюдая порядок действий. В выражении $-5^2$ в квадрат возводится только число 5, знак минус к степени не относится. В выражении $(-2)^4$ в степень возводится основание -2.

1. Вычисляем $-5^2$:
$-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$.

2. Вычисляем $(-2)^4$:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.

3. Складываем полученные результаты:
$-25 + 16 = -9$.

Ответ: -9

2) $3^4 - (\frac{2}{5})^2 \cdot 6\frac{1}{4}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Вычисляем $3^4$:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

2. Вычисляем $(\frac{2}{5})^2$:
$(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.

3. Преобразуем смешанное число $6\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

4. Выполняем умножение:
$\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{4} = 1$.

5. Выполняем вычитание:
$81 - 1 = 80$.

Ответ: 80

3) $0,2 \cdot 5^3 - 0,4 \cdot 2^4$

Выполняем действия по порядку: сначала возведение в степень, затем умножение в каждом слагаемом, и в конце вычитание.

1. Вычисляем первое слагаемое $0,2 \cdot 5^3$:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$0,2 \cdot 125 = 25$.

2. Вычисляем второе слагаемое $0,4 \cdot 2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
$0,4 \cdot 16 = 6,4$.

3. Выполняем вычитание:
$25 - 6,4 = 18,6$.

Ответ: 18,6

4) $8 \cdot 0,5^3 + 125 \cdot 0,2^2$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных, а целые числа в виде степеней.

1. Преобразуем числа:
$8 = 2^3$
$0,5 = \frac{1}{2}$
$125 = 5^3$
$0,2 = \frac{1}{5}$

2. Подставляем преобразованные значения в исходное выражение:
$8 \cdot 0,5^3 + 125 \cdot 0,2^2 = 2^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 5^3 \cdot (\frac{1}{5})^2$.

3. Упрощаем первое слагаемое, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратную сторону:
$2^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = (2 \cdot \frac{1}{2})^3 = 1^3 = 1$.

4. Упрощаем второе слагаемое, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^3 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 5^3 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{5^3}{5^2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

5. Складываем полученные результаты:
$1 + 5 = 6$.

Ответ: 6