Страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. Запишите произведение в виде степени:

1) $n^{12} \cdot n^{5}$;

2) $m^{5} \cdot m^{17}$;

3) $c^{3} \cdot c^{4}$;

4) $a^{6} \cdot a^{7}$;

5) $a^{16} \cdot a^{7}$;

6) $p^{10} \cdot p^{11}$;

7) $b \cdot b \cdot b^{2}$;

8) $x^{2} \cdot x \cdot x^{3}$;

9) $r^{2} \cdot r^{2} \cdot r^{2}$.

1) Для того чтобы представить произведение в виде степени, используется правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание нужно оставить тем же, а показатели сложить. В данном случае основание — $n$.
$n^{12} \cdot n^5 = n^{12+5} = n^{17}$.
Ответ: $n^{17}$

2) Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание $m$ остается без изменений, а показатели $5$ и $17$ складываются.
$m^5 \cdot m^{17} = m^{5+17} = m^{22}$.
Ответ: $m^{22}$

3) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием $c$, необходимо сложить их показатели $3$ и $4$ в соответствии с правилом $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$.
Ответ: $c^7$

4) По правилу умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели $6$ и $7$ при одинаковом основании $a$.
$a^6 \cdot a^7 = a^{6+7} = a^{13}$.
Ответ: $a^{13}$

5) Аналогично предыдущим примерам, складываем показатели $16$ и $7$, так как основания степеней одинаковы и равны $a$.
$a^{16} \cdot a^7 = a^{16+7} = a^{23}$.
Ответ: $a^{23}$

6) Для произведения степеней с основанием $p$ складываем их показатели $10$ и $11$.
$p^{10} \cdot p^{11} = p^{10+11} = p^{21}$.
Ответ: $p^{21}$

7) В данном выражении есть множители без явно указанной степени. Следует помнить, что любая переменная без показателя степени подразумевает степень $1$, то есть $b=b^1$. Таким образом, произведение можно переписать как $b^1 \cdot b^1 \cdot b^2$. Теперь, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, сложим все показатели: $1$, $1$ и $2$.
$b \cdot b \cdot b^2 = b^{1+1+2} = b^4$.
Ответ: $b^4$

8) Аналогично предыдущему заданию, множитель $x$ равен $x^1$. Чтобы записать произведение в виде степени, нужно сложить показатели всех множителей с одинаковым основанием $x$.
$x^2 \cdot x \cdot x^3 = x^{2+1+3} = x^6$.
Ответ: $x^6$

9) В этом произведении три множителя с одинаковым основанием $r$ и одинаковыми показателями $2$. Чтобы найти итоговую степень, нужно сложить все показатели.
$r^2 \cdot r^2 \cdot r^2 = r^{2+2+2} = r^6$.
Ответ: $r^6$

1.36. Представьте произведение в виде степени:

1) $2^5 \cdot 64;$

2) $0,2^6 \cdot 0,04;$

3) $3^4 \cdot 81;$

4) $6^{12} \cdot 36;$

5) $0,25^7 \cdot \frac{1}{64};$

6) $0,0001 \cdot 0,1^5.$

1) Чтобы представить произведение $2^5 \cdot 64$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. В данном случае, основание равно 2. Представим число 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$. Теперь исходное выражение можно записать так: $2^5 \cdot 2^6$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}$. Ответ: $2^{11}$

2) Чтобы представить произведение $0,2^6 \cdot 0,04$ в виде степени, приведем оба множителя к основанию 0,2. Число 0,04 можно представить как квадрат числа 0,2: $0,04 = 0,2^2$. Тогда произведение примет вид: $0,2^6 \cdot 0,2^2$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: $0,2^6 \cdot 0,2^2 = 0,2^{6+2} = 0,2^8$. Ответ: $0,2^8$

3) Чтобы представить произведение $3^4 \cdot 81$ в виде степени, приведем множители к основанию 3. Число 81 является степенью числа 3: $81 = 3^4$. Подставив это значение в выражение, получим: $3^4 \cdot 3^4$. По свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $3^4 \cdot 3^4 = 3^{4+4} = 3^8$. Ответ: $3^8$

4) Чтобы представить произведение $6^{12} \cdot 36$ в виде степени, приведем множители к основанию 6. Представим число 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$. Исходное выражение преобразуется к виду: $6^{12} \cdot 6^2$. Сложив показатели степеней, получим: $6^{12} \cdot 6^2 = 6^{12+2} = 6^{14}$. Ответ: $6^{14}$

5) Чтобы представить произведение $0,25^7 \cdot \frac{1}{64}$ в виде степени, удобно привести все множители к одному основанию, например, 0,25. Представим 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$. Теперь представим второй множитель $\frac{1}{64}$ как степень числа $\frac{1}{4}$. Так как $64 = 4^3$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = (\frac{1}{4})^3$. Поскольку $\frac{1}{4} = 0,25$, то $(\frac{1}{4})^3 = 0,25^3$. Исходное выражение принимает вид: $0,25^7 \cdot 0,25^3$. Используя свойство умножения степеней, получим: $0,25^7 \cdot 0,25^3 = 0,25^{7+3} = 0,25^{10}$. Ответ: $0,25^{10}$

6) Чтобы представить произведение $0,0001 \cdot 0,1^5$ в виде степени, приведем оба множителя к основанию 0,1. Число 0,0001 можно записать как степень числа 0,1: $0,0001 = 0,1^4$. Тогда произведение будет выглядеть так: $0,1^4 \cdot 0,1^5$. Сложив показатели степеней по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $0,1^4 \cdot 0,1^5 = 0,1^{4+5} = 0,1^9$. Ответ: $0,1^9$

1.37. Представьте частное в виде степени:

1) $a^5 : a^2;$

2) $b^{20} : b^{12};$

3) $-c^{15} : c^5;$

4) $0,5^{17} : 0,5^{10};$

5) $x^{11} : x^7;$

6) $p^{19} : p^9;$

7) $q^{12} : q^3;$

8) $7^{20} : 7^{12}.$

Для решения данных задач используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается неизменным, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула этого свойства выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

1) Чтобы найти частное $a^5 : a^2$, мы применяем правило деления степеней. Основание $a$ остается тем же, а показатели степеней вычитаются: $5 - 2 = 3$. Таким образом, получаем: $a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

2) Для частного $b^{20} : b^{12}$ основание $b$ остается без изменений, а из показателя степени 20 вычитаем показатель 12: $20 - 12 = 8$. В результате деления получаем: $b^{20} : b^{12} = b^{20-12} = b^8$.
Ответ: $b^8$.

3) В выражении $-c^{15} : c^5$ знак минус относится ко всему выражению. Сначала выполним деление степеней $c^{15} : c^5$. Основание $c$ остается, а показатели вычитаются: $15 - 5 = 10$. Получаем $c^{10}$. Затем добавляем знак минус перед результатом: $-(c^{15} : c^5) = -c^{15-5} = -c^{10}$.
Ответ: $-c^{10}$.

4) Для частного $0,5^{17} : 0,5^{10}$ основание равно $0,5$. Вычитаем показатели степеней: $17 - 10 = 7$. Таким образом, результат деления будет: $0,5^{17} : 0,5^{10} = 0,5^{17-10} = 0,5^7$.
Ответ: $0,5^7$.

5) В выражении $x^{11} : x^7$ основание $x$ остается прежним. Вычитаем показатели: $11 - 7 = 4$. Следовательно, частное равно: $x^{11} : x^7 = x^{11-7} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

6) Для частного $p^{19} : p^9$ основание $p$ сохраняется, а показатели вычитаются: $19 - 9 = 10$. В результате деления получаем степень: $p^{19} : p^9 = p^{19-9} = p^{10}$.
Ответ: $p^{10}$.

7) Чтобы найти частное $q^{12} : q^3$, оставляем основание $q$ без изменений и вычитаем показатели: $12 - 3 = 9$. Таким образом, получаем: $q^{12} : q^3 = q^{12-3} = q^9$.
Ответ: $q^9$.

8) В выражении $7^{20} : 7^{12}$ основание равно $7$. Выполняем вычитание показателей степеней: $20 - 12 = 8$. Результатом деления будет: $7^{20} : 7^{12} = 7^{20-12} = 7^8$.
Ответ: $7^8$.

1.38. Выполните деление:

1) $p^{12} : p^2;$

2) $a^{16} : a^7;$

3) $10^{21} : 10^{12};$

4) $y^9 : y;$

5) $2,3^{17} : 2,3^8;$

6) $q^{12} : q^8.$

1) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание равно $p$, показатель степени делимого — 12, а делителя — 2. $p^{12} : p^2 = p^{12-2} = p^{10}$. Ответ: $p^{10}$

2) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание — $a$, показатели степеней — 16 и 7. Вычитаем показатели: $a^{16} : a^7 = a^{16-7} = a^9$. Ответ: $a^9$

3) Применяем правило деления степеней для основания 10. Формула: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом примере основание $a=10$, показатель делимого $m=21$, показатель делителя $n=12$. $10^{21} : 10^{12} = 10^{21-12} = 10^9$. Ответ: $10^9$

4) В этом выражении делитель $y$ представлен без показателя степени. Это означает, что его показатель равен 1, то есть $y = y^1$. Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$: $y^9 : y = y^9 : y^1 = y^{9-1} = y^8$. Ответ: $y^8$

5) Правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$) справедливо и для десятичных дробей. В этом примере основание равно 2,3, а показатели степеней — 17 и 8. $2,3^{17} : 2,3^8 = 2,3^{17-8} = 2,3^9$. Ответ: $2,3^9$

6) Для нахождения частного степеней с одинаковым основанием $q$ действуем по тому же правилу: вычитаем показатели степеней. Используем формулу $a^m : a^n = a^{m-n}$: $q^{12} : q^8 = q^{12-8} = q^4$. Ответ: $q^4$

1.39. Найдите значение выражения:

1) $5^8 : 5^6;$

2) $0,2^7 : 0,2^5;$

3) $1,99^{13} : 1,99^{12};$

4) $(1\frac{2}{3})^4 : (1\frac{2}{3})^2;$

5) $(-\frac{3}{7})^5 : (-\frac{3}{7})^4;$

6) $(2\frac{3}{5})^6 : (2\frac{3}{5})^4.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=5$, а показатели степеней $m=8$ и $n=6$.

$5^8 : 5^6 = 5^{8-6} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

2) Аналогично первому примеру, применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a=0,2$, $m=7$, $n=5$.

$0,2^7 : 0,2^5 = 0,2^{7-5} = 0,2^2 = 0,04$.

Ответ: 0,04

3) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$1,99^{13} : 1,99^{12} = 1,99^{13-12} = 1,99^1 = 1,99$.

Ответ: 1,99

4) Основанием степени является смешанное число. Правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ также применимо.

$(1\frac{2}{3})^4 : (1\frac{2}{3})^2 = (1\frac{2}{3})^{4-2} = (1\frac{2}{3})^2$.

Для вычисления преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

Чтобы записать ответ в виде смешанного числа, выделим целую часть: $\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: $2\frac{7}{9}$

5) В этом примере основание степени - отрицательное число. Свойство частного степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ работает и для отрицательных оснований.

$(-\frac{3}{7})^5 : (-\frac{3}{7})^4 = (-\frac{3}{7})^{5-4} = (-\frac{3}{7})^1 = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $-\frac{3}{7}$

6) Снова имеем дело со смешанным числом в основании степени. Применяем свойство частного степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(2\frac{3}{5})^6 : (2\frac{3}{5})^4 = (2\frac{3}{5})^{6-4} = (2\frac{3}{5})^2$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$.

Возведем полученную дробь в квадрат: $(\frac{13}{5})^2 = \frac{13^2}{5^2} = \frac{169}{25}$.

Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{169}{25} = 6\frac{19}{25}$.

Ответ: $6\frac{19}{25}$

1.40. Упростите выражение:

1) $a^5 \cdot a^0;$

2) $b^6 : b^0;$

3) $p^4 \cdot p^0;$

4) $x^8 : x^0$.

Для решения данных задач необходимо использовать свойства степеней. Основное свойство, которое здесь применяется, — это свойство степени с нулевым показателем: любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$). Также можно использовать правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1) Упростим выражение $a^5 \cdot a^0$.

Способ 1: Использование правила умножения степеней.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$a^5 \cdot a^0 = a^{5+0} = a^5$.

Способ 2: Использование свойства нулевой степени.
По определению, $a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).
Тогда выражение можно переписать как:
$a^5 \cdot a^0 = a^5 \cdot 1 = a^5$.

Ответ: $a^5$.

2) Упростим выражение $b^6 : b^0$.

Способ 1: Использование правила деления степеней.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:
$b^6 : b^0 = b^{6-0} = b^6$.

Способ 2: Использование свойства нулевой степени.
Учитывая, что $b^0 = 1$ (при условии, что $b \neq 0$, так как на ноль делить нельзя):
$b^6 : b^0 = b^6 : 1 = b^6$.

Ответ: $b^6$.

3) Упростим выражение $p^4 \cdot p^0$.

По аналогии с первым примером, применим правило умножения степеней:
$p^4 \cdot p^0 = p^{4+0} = p^4$.

Или, используя свойство нулевой степени ($p^0 = 1$ при $p \neq 0$):
$p^4 \cdot p^0 = p^4 \cdot 1 = p^4$.

Ответ: $p^4$.

4) Упростим выражение $x^8 : x^0$.

По аналогии со вторым примером, применим правило деления степеней:
$x^8 : x^0 = x^{8-0} = x^8$.

Или, используя свойство нулевой степени ($x^0 = 1$ при $x \neq 0$):
$x^8 : x^0 = x^8 : 1 = x^8$.

Ответ: $x^8$.