Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Запишите выражение в виде степени с основанием a:

1) $(a^5)^2 \cdot a$;

2) $a^3 \cdot a^3$;

3) $a \cdot a^2 \cdot a^3$;

4) $((a^2)^3)^4$;

5) $(a^2 \cdot a^3)^2$;

6) $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a$.

1)

Для упрощения выражения $(a^5)^2 \cdot a$ необходимо применить два свойства степеней.

Первое свойство — возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применим его к $(a^5)^2$:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Второе свойство — умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применим его к полученному выражению $a^{10}$ и $a$. Следует помнить, что $a$ можно представить как $a^1$.

$a^{10} \cdot a = a^{10} \cdot a^1 = a^{10+1} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$.

2)

Для упрощения выражения $a^3 \cdot a^3$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В данном случае основание $a$ одинаковое, а показатели степеней равны 3. Складываем показатели:

$a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$

Ответ: $a^6$.

3)

Для упрощения выражения $a \cdot a^2 \cdot a^3$ применяется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$.

Нужно учесть, что $a$ — это степень с показателем 1, то есть $a = a^1$.

Теперь сложим все показатели степеней:

$a \cdot a^2 \cdot a^3 = a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 = a^{1+2+3} = a^6$

Ответ: $a^6$.

4)

Для упрощения выражения $((a^2)^3)^4$ нужно последовательно применить свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Сначала упростим внутреннюю часть выражения, $(a^2)^3$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

Теперь возведем полученный результат $a^6$ в 4-ю степень:

$(a^6)^4 = a^{6 \cdot 4} = a^{24}$

Альтернативно, можно сразу перемножить все показатели: $a^{2 \cdot 3 \cdot 4} = a^{24}$.

Ответ: $a^{24}$.

5)

В выражении $(a^2 \cdot a^3)^2$ сначала нужно выполнить действие в скобках.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

Теперь возведем полученный результат в квадрат, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$.

6)

Для упрощения выражения $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a$ выполним действия по порядку.

Сначала возведем степень в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$

Теперь выражение имеет вид: $a^2 \cdot a^{12} \cdot a$.

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$. Учтем, что $a = a^1$.

$a^2 \cdot a^{12} \cdot a^1 = a^{2+12+1} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$.

1.74. Представьте выражение в виде степени с основанием $b$:

1) $(b^2)^3$;

2) $b \cdot b^7$;

3) $(b^3)^4$;

4) $(-b^3)^2$;

5) $b^3 \cdot b^3$;

6) $(b^3)^3$.

1) Для того чтобы представить выражение $(b^2)^3$ в виде степени с основанием $b$, воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень». Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В нашем случае основание $a=b$, а показатели степеней $m=2$ и $n=3$.

Применим правило: $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.

Ответ: $b^6$.

2) Для того чтобы представить выражение $b \cdot b^7$ в виде степени с основанием $b$, воспользуемся свойством «умножение степеней с одинаковыми основаниями». Это свойство гласит, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Следует помнить, что любое число или переменная без указания степени считается в первой степени, то есть $b = b^1$.

Применим правило: $b \cdot b^7 = b^1 \cdot b^7 = b^{1+7} = b^8$.

Ответ: $b^8$.

3) Для того чтобы представить выражение $(b^3)^4$ в виде степени с основанием $b$, воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень»: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном выражении основание $a=b$, а показатели степеней $m=3$ и $n=4$.

Перемножим показатели: $(b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12}$.

Ответ: $b^{12}$.

4) Для того чтобы представить выражение $(-b^3)^2$ в виде степени с основанием $b$, нужно учесть два момента: возведение в степень отрицательного выражения и возведение степени в степень.

Во-первых, при возведении отрицательного выражения в четную степень (в нашем случае степень равна 2), результат будет положительным: $(-x)^2 = x^2$.

Таким образом, $(-b^3)^2 = (b^3)^2$.

Во-вторых, применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Получаем: $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.

Ответ: $b^6$.

5) Для того чтобы представить выражение $b^3 \cdot b^3$ в виде степени с основанием $b$, воспользуемся свойством «умножение степеней с одинаковыми основаниями»: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем случае основание $a=b$, а показатели $m=3$ и $n=3$.

Сложим показатели: $b^3 \cdot b^3 = b^{3+3} = b^6$.

Ответ: $b^6$.

6) Для того чтобы представить выражение $(b^3)^3$ в виде степени с основанием $b$, воспользуемся свойством «возведение степени в степень»: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Здесь основание $a=b$, а показатели $m=3$ и $n=3$.

Перемножим показатели: $(b^3)^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9$.

Ответ: $b^9$.

1.75. Представьте выражение в виде степени с основанием x:

1) $(x^2)^5 : (x^3)^2$;

2) $(x^3)^4 : (x^2)^5$;

3) $(x^3 : x^2)^5$;

4) $(\frac{x^4}{x})^3$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$
$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$
Теперь выражение выглядит так: $x^{10} : x^6$.
Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$x^{10} : x^6 = x^{10-6} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

2) Решаем аналогично первому примеру, используя те же свойства степеней.
Возводим степени в степень:
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$
$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$
Получаем выражение: $x^{12} : x^{10}$.
Выполняем деление степеней:
$x^{12} : x^{10} = x^{12-10} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

3) В этом примере сначала можно упростить выражение в скобках.
Применяем правило деления степеней: $x^3 : x^2 = x^{3-2} = x^1 = x$.
Теперь выражение принимает вид: $(x)^5$.
Это равно $x^5$.
Альтернативный способ:
Можно сначала применить правило возведения частного в степень: $(a:b)^n = a^n : b^n$.
$(x^3 : x^2)^5 = (x^3)^5 : (x^2)^5 = x^{3 \cdot 5} : x^{2 \cdot 5} = x^{15} : x^{10}$.
Затем применяем правило деления степеней: $x^{15-10} = x^5$.
Результат тот же.
Ответ: $x^5$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, помня, что $x = x^1$.
Применяем правило деления степеней: $\frac{x^4}{x} = x^{4-1} = x^3$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $(x^3)^3$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Альтернативный способ:
Применяем правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{x^4}{x})^3 = \frac{(x^4)^3}{x^3} = \frac{x^{4 \cdot 3}}{x^3} = \frac{x^{12}}{x^3}$.
Применяем правило деления степеней: $x^{12-3} = x^9$.
Результат совпадает.
Ответ: $x^9$.

1.76. Упростите выражение:

1) $a^3 \cdot (a^2)^4$;

2) $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3$;

3) $(p^2 \cdot p^3)^2$;

4) $(m^2 \cdot m^3)^3$;

5) $(x^2)^5 \cdot x^5$;

6) $(y^2 \cdot y^3)^4$.

1) Для упрощения выражения $a^3 \cdot (a^2)^4$ необходимо применить свойства степеней. Сначала используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ для выражения в скобках:$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.Теперь исходное выражение принимает вид: $a^3 \cdot a^8$.Далее, используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$.
Ответ: $a^{11}$.

2) В выражении $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3$ мы сначала упростим каждый множитель по отдельности, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:Первый множитель: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.Второй множитель: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.Теперь умножим полученные результаты, применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$a^8 \cdot a^{12} = a^{8+12} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

3) Выражение $(p^2 \cdot p^3)^2$ можно упростить, сначала выполнив операцию в скобках. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.Теперь возведем полученный результат во вторую степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(p^5)^2 = p^{5 \cdot 2} = p^{10}$.
Ответ: $p^{10}$.

4) Для упрощения выражения $(m^2 \cdot m^3)^3$ сначала выполним умножение в скобках. Согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$m^2 \cdot m^3 = m^{2+3} = m^5$.Затем возведем результат в куб, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$.
Ответ: $m^{15}$.

5) В выражении $(x^2)^5 \cdot x^5$ сначала упростим первый множитель. Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.Теперь выражение выглядит так: $x^{10} \cdot x^5$.Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$x^{10} \cdot x^5 = x^{10+5} = x^{15}$.
Ответ: $x^{15}$.

6) Чтобы упростить выражение $(y^2 \cdot y^3)^4$, начнем с операции в скобках. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = y^5$.Теперь возведем полученный результат в четвертую степень, применяя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(y^5)^4 = y^{5 \cdot 4} = y^{20}$.
Ответ: $y^{20}$.

1.77. Упростите выражение:

1) $\frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2}$

2) $\frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3}$

3) $\frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5}$

1) Исходное выражение: $\frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2}$.
Сначала упростим выражение в скобках в числителе, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{(x^3)^4}{(x^3)^2}$.
Далее, применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю и знаменателю:
В числителе: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.
В знаменателе: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Получаем дробь: $\frac{x^{12}}{x^6}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{12}}{x^6} = x^{12-6} = x^6$.
Ответ: $x^6$.

2) Исходное выражение: $\frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3}$.
Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
В числителе: $(ab)^2 = a^2b^2$.
В знаменателе: $(ab)^3 = a^3b^3$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: $\frac{a^2b^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot a^3b^3}$.
Теперь сгруппируем и умножим степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
Числитель: $a^2 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 = a^{2+3}b^{2+4} = a^5b^6$.
Знаменатель: $a^1 \cdot a^3 \cdot b^3 = a^{1+3}b^3 = a^4b^3$.
Получаем дробь: $\frac{a^5b^6}{a^4b^3}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^5}{a^4} \cdot \frac{b^6}{b^3} = a^{5-4}b^{6-3} = a^1b^3 = ab^3$.
Ответ: $ab^3$.

3) Исходное выражение: $\frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5}$.
Раскроем скобки в числителе, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, а затем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^2 \cdot x^3)^5 = (a^2)^5 \cdot (x^3)^5 = a^{2 \cdot 5}x^{3 \cdot 5} = a^{10}x^{15}$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^2)^2 \cdot x^5 = a^{2 \cdot 2}x^5 = a^4x^5$.
Получаем дробь: $\frac{a^{10}x^{15}}{a^4x^5}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{a^{10}}{a^4} \cdot \frac{x^{15}}{x^5} = a^{10-4}x^{15-5} = a^6x^{10}$.
Ответ: $a^6x^{10}$.

1.78. Докажите, что:

1) квадраты противоположных чисел равны;

2) кубы противоположных чисел противоположны.

1) квадраты противоположных чисел равны;

Пусть дано произвольное число $a$. Число, противоположное ему, — это $-a$.

Квадрат числа $a$ — это $a^2$.

Квадрат числа $-a$ — это $(-a)^2$.

Необходимо доказать, что $a^2 = (-a)^2$.

Рассмотрим квадрат числа $-a$. По определению степени и свойствам умножения, имеем:

$(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2$

Так как $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$, то получаем:

$1 \cdot a^2 = a^2$

Таким образом, мы показали, что $(-a)^2 = a^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: квадраты противоположных чисел равны.

2) кубы противоположных чисел противоположны.

Пусть снова дано произвольное число $a$ и противоположное ему число $-a$.

Куб числа $a$ — это $a^3$.

Куб числа $-a$ — это $(-a)^3$.

Необходимо доказать, что куб числа $-a$ является противоположным числу $a^3$. Это значит, что нужно доказать равенство $(-a)^3 = -a^3$.

Рассмотрим куб числа $-a$. По определению степени и свойствам умножения, имеем:

$(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3$

Так как $(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$, то получаем:

$(-1) \cdot a^3 = -a^3$

Таким образом, мы показали, что $(-a)^3 = -a^3$. Это означает, что куб числа $-a$ является противоположным кубу числа $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: кубы противоположных чисел противоположны.

1.79. Как изменится площадь квадрата, если длину его стороны увеличить в 3 раза?

Для решения этой задачи обозначим первоначальную длину стороны квадрата переменной $a$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = \text{сторона}^2$. Следовательно, первоначальная площадь квадрата $S_1$ равна:

$S_1 = a^2$

Согласно условию, длину стороны квадрата увеличили в 3 раза. Новая длина стороны будет равна $3a$.

Теперь вычислим новую площадь квадрата, $S_2$, с новой длиной стороны:

$S_2 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к первоначальной $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9a^2}{a^2} = 9$

Это означает, что новая площадь в 9 раз больше первоначальной.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

1.80. Как изменится объем куба, если длину его ребра увеличить в 2 раза?

Для того чтобы определить, как изменится объем куба, необходимо вспомнить формулу для его вычисления и проанализировать, как на нее повлияет изменение длины ребра.

1. Исходные данные.
Пусть первоначальная длина ребра куба равна $a$. Объем куба ($V$) вычисляется по формуле: $V = a^3$ Соответственно, первоначальный объем куба ($V_1$) равен: $V_1 = a^3$

2. Изменение длины ребра.
Согласно условию задачи, длину ребра увеличили в 2 раза. Новая длина ребра, обозначим ее как $a_2$, будет равна: $a_2 = 2 \cdot a = 2a$

3. Вычисление нового объема.
Теперь найдем новый объем куба ($V_2$) с новой длиной ребра $a_2$: $V_2 = (a_2)^3 = (2a)^3$ При возведении произведения в степень, мы возводим в эту степень каждый множитель: $V_2 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$

4. Сравнение объемов.
Чтобы узнать, во сколько раз изменился объем, найдем отношение нового объема ($V_2$) к первоначальному ($V_1$): $\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3}$ Сократив $a^3$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{V_2}{V_1} = 8$

Таким образом, новый объем в 8 раз больше первоначального.

Ответ: Объем куба увеличится в 8 раз.

1.81. Представьте выражение в виде степени с основанием x:

1) $x^2 x^m$;

2) $x^m \cdot x$;

3) $(x^2)^n$;

4) $(x^n)^3$;

5) $(x^3)^n$.

1) Для того чтобы представить выражение $x^2 x^m$ в виде степени с основанием $x$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней основание остается прежним, а их показатели складываются. Математически это правило записывается как $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Применяя данное правило к нашему выражению, мы получаем:

$x^2 \cdot x^m = x^{2+m}$

Ответ: $x^{2+m}$

2) В выражении $x^m \cdot x$ мы также имеем дело с умножением степеней с одинаковым основанием $x$. Важно помнить, что переменная $x$ без указания показателя степени эквивалентна $x^1$.

Используем то же свойство умножения степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$x^m \cdot x = x^m \cdot x^1 = x^{m+1}$

Ответ: $x^{m+1}$

3) Выражение $(x^2)^n$ представляет собой возведение степени в степень. Для этого случая существует правило, согласно которому основание степени остается без изменений, а показатели степеней перемножаются. Формула этого правила: $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$.

Применим это правило к заданному выражению:

$(x^2)^n = x^{2 \cdot n} = x^{2n}$

Ответ: $x^{2n}$

4) Для выражения $(x^n)^3$ используется то же самое правило возведения степени в степень, что и в предыдущем пункте. Основание $x$ остается прежним, а показатели $n$ и $3$ перемножаются.

$(x^n)^3 = x^{n \cdot 3} = x^{3n}$

Ответ: $x^{3n}$

5) Выражение $(x^3)^n$ также является примером возведения степени в степень. Аналогично пунктам 3 и 4, мы должны перемножить показатели степеней, оставив основание $x$ без изменений.

$(x^3)^n = x^{3 \cdot n} = x^{3n}$

Ответ: $x^{3n}$