Номер 1.75, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. Представьте выражение в виде степени с основанием x:

1) $(x^2)^5 : (x^3)^2$;

2) $(x^3)^4 : (x^2)^5$;

3) $(x^3 : x^2)^5$;

4) $(\frac{x^4}{x})^3$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$
$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$
Теперь выражение выглядит так: $x^{10} : x^6$.
Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$x^{10} : x^6 = x^{10-6} = x^4$.
Ответ: $x^4$.

2) Решаем аналогично первому примеру, используя те же свойства степеней.
Возводим степени в степень:
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$
$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$
Получаем выражение: $x^{12} : x^{10}$.
Выполняем деление степеней:
$x^{12} : x^{10} = x^{12-10} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

3) В этом примере сначала можно упростить выражение в скобках.
Применяем правило деления степеней: $x^3 : x^2 = x^{3-2} = x^1 = x$.
Теперь выражение принимает вид: $(x)^5$.
Это равно $x^5$.
Альтернативный способ:
Можно сначала применить правило возведения частного в степень: $(a:b)^n = a^n : b^n$.
$(x^3 : x^2)^5 = (x^3)^5 : (x^2)^5 = x^{3 \cdot 5} : x^{2 \cdot 5} = x^{15} : x^{10}$.
Затем применяем правило деления степеней: $x^{15-10} = x^5$.
Результат тот же.
Ответ: $x^5$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, помня, что $x = x^1$.
Применяем правило деления степеней: $\frac{x^4}{x} = x^{4-1} = x^3$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $(x^3)^3$.
Применяем правило возведения степени в степень: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Альтернативный способ:
Применяем правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{x^4}{x})^3 = \frac{(x^4)^3}{x^3} = \frac{x^{4 \cdot 3}}{x^3} = \frac{x^{12}}{x^3}$.
Применяем правило деления степеней: $x^{12-3} = x^9$.
Результат совпадает.
Ответ: $x^9$.