Номер 1.76, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Упростите выражение:

1) $a^3 \cdot (a^2)^4$;

2) $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3$;

3) $(p^2 \cdot p^3)^2$;

4) $(m^2 \cdot m^3)^3$;

5) $(x^2)^5 \cdot x^5$;

6) $(y^2 \cdot y^3)^4$.

1) Для упрощения выражения $a^3 \cdot (a^2)^4$ необходимо применить свойства степеней. Сначала используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ для выражения в скобках:$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.Теперь исходное выражение принимает вид: $a^3 \cdot a^8$.Далее, используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$.
Ответ: $a^{11}$.

2) В выражении $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3$ мы сначала упростим каждый множитель по отдельности, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:Первый множитель: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.Второй множитель: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.Теперь умножим полученные результаты, применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$a^8 \cdot a^{12} = a^{8+12} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

3) Выражение $(p^2 \cdot p^3)^2$ можно упростить, сначала выполнив операцию в скобках. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.Теперь возведем полученный результат во вторую степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(p^5)^2 = p^{5 \cdot 2} = p^{10}$.
Ответ: $p^{10}$.

4) Для упрощения выражения $(m^2 \cdot m^3)^3$ сначала выполним умножение в скобках. Согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$m^2 \cdot m^3 = m^{2+3} = m^5$.Затем возведем результат в куб, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$.
Ответ: $m^{15}$.

5) В выражении $(x^2)^5 \cdot x^5$ сначала упростим первый множитель. Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$.Теперь выражение выглядит так: $x^{10} \cdot x^5$.Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$x^{10} \cdot x^5 = x^{10+5} = x^{15}$.
Ответ: $x^{15}$.

6) Чтобы упростить выражение $(y^2 \cdot y^3)^4$, начнем с операции в скобках. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = y^5$.Теперь возведем полученный результат в четвертую степень, применяя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:$(y^5)^4 = y^{5 \cdot 4} = y^{20}$.
Ответ: $y^{20}$.