Номер 1.83, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Представьте $5^{20}$ в виде степени с основанием:

1) $5^2$;

2) $25^2$;

3) $5^{10}$;

4) $625$;

5) $5^5$.

1) 5²;

Чтобы представить число $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^2$, мы воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $(5^2)^x = 5^{20}$.

Согласно свойству степени, левая часть уравнения равна $5^{2 \cdot x}$. Таким образом, мы получаем уравнение $5^{2x} = 5^{20}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $2x = 20$.

Решая это уравнение, находим $x$: $x = \frac{20}{2} = 10$.

Следовательно, $5^{20}$ можно представить как $(5^2)^{10}$.

Ответ: $(5^2)^{10}$.

2) 25²;

Сначала необходимо представить основание $25^2$ в виде степени числа 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Тогда $25^2 = (5^2)^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^4$. Пусть искомый показатель равен $x$. Тогда $(5^4)^x = 5^{20}$.

Применяя то же свойство степени, имеем $5^{4x} = 5^{20}$. Приравниваем показатели: $4x = 20$.

Находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Таким образом, $5^{20} = (5^4)^5$. Заменяя $5^4$ обратно на $25^2$, получаем искомое выражение.

Ответ: $(25^2)^5$.

3) 5¹⁰;

Чтобы представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^{10}$, мы ищем показатель $x$ такой, что $(5^{10})^x = 5^{20}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $5^{10 \cdot x} = 5^{20}$.

Приравниваем показатели степеней: $10x = 20$.

Решаем уравнение относительно $x$: $x = \frac{20}{10} = 2$.

Значит, $5^{20}$ можно представить как $(5^{10})^2$.

Ответ: $(5^{10})^2$.

4) 625;

Первым шагом представим основание 625 в виде степени числа 5. $625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Теперь нам нужно представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^4$. Пусть показатель этой степени равен $x$: $(5^4)^x = 5^{20}$.

Используя свойство возведения степени в степень, получаем $5^{4x} = 5^{20}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели: $4x = 20$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, $5^{20} = (5^4)^5$, что равно $625^5$.

Ответ: $625^5$.

5) 5⁵;

Для представления $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^5$, мы ищем показатель $x$, для которого выполняется равенство $(5^5)^x = 5^{20}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, левая часть преобразуется в $5^{5 \cdot x}$. Таким образом, $5^{5x} = 5^{20}$.

Приравниваем показатели: $5x = 20$.

Находим $x$: $x = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, $5^{20}$ можно записать как $(5^5)^4$.

Ответ: $(5^5)^4$.