Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Представьте числа в виде степени с основанием 3:

1) $9^5$;

2) $27^3$;

3) $81^4$;

4) $243^2$.

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 3, необходимо основание каждого числа выразить как степень тройки, а затем применить свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1)

Рассмотрим число $9^5$.

Основание степени, число 9, можно представить как степень числа 3:

$9 = 3^2$

Теперь подставим это выражение в исходное число:

$9^5 = (3^2)^5$

Согласно свойству степени, при возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$

Ответ: $3^{10}$.

2)

Рассмотрим число $27^3$.

Представим основание 27 как степень числа 3:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Подставим полученное выражение в исходное:

$27^3 = (3^3)^3$

Перемножим показатели степени:

$(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$

Ответ: $3^9$.

3)

Рассмотрим число $81^4$.

Представим основание 81 как степень числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = (3^2) \cdot (3^2) = 3^{2+2} = 3^4$

Подставим это выражение в исходное число:

$81^4 = (3^4)^4$

Применим свойство возведения степени в степень:

$(3^4)^4 = 3^{4 \cdot 4} = 3^{16}$

Ответ: $3^{16}$.

4)

Рассмотрим число $243^2$.

Представим основание 243 как степень числа 3:

$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3^1 = 3^{4+1} = 3^5$

Подставим это выражение в исходное:

$243^2 = (3^5)^2$

Перемножим показатели степени:

$(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$

Ответ: $3^{10}$.

1.83. Представьте $5^{20}$ в виде степени с основанием:

1) $5^2$;

2) $25^2$;

3) $5^{10}$;

4) $625$;

5) $5^5$.

1) 5²;

Чтобы представить число $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^2$, мы воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такое число $x$, чтобы выполнялось равенство $(5^2)^x = 5^{20}$.

Согласно свойству степени, левая часть уравнения равна $5^{2 \cdot x}$. Таким образом, мы получаем уравнение $5^{2x} = 5^{20}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $2x = 20$.

Решая это уравнение, находим $x$: $x = \frac{20}{2} = 10$.

Следовательно, $5^{20}$ можно представить как $(5^2)^{10}$.

Ответ: $(5^2)^{10}$.

2) 25²;

Сначала необходимо представить основание $25^2$ в виде степени числа 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Тогда $25^2 = (5^2)^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^4$. Пусть искомый показатель равен $x$. Тогда $(5^4)^x = 5^{20}$.

Применяя то же свойство степени, имеем $5^{4x} = 5^{20}$. Приравниваем показатели: $4x = 20$.

Находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Таким образом, $5^{20} = (5^4)^5$. Заменяя $5^4$ обратно на $25^2$, получаем искомое выражение.

Ответ: $(25^2)^5$.

3) 5¹⁰;

Чтобы представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^{10}$, мы ищем показатель $x$ такой, что $(5^{10})^x = 5^{20}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $5^{10 \cdot x} = 5^{20}$.

Приравниваем показатели степеней: $10x = 20$.

Решаем уравнение относительно $x$: $x = \frac{20}{10} = 2$.

Значит, $5^{20}$ можно представить как $(5^{10})^2$.

Ответ: $(5^{10})^2$.

4) 625;

Первым шагом представим основание 625 в виде степени числа 5. $625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Теперь нам нужно представить $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^4$. Пусть показатель этой степени равен $x$: $(5^4)^x = 5^{20}$.

Используя свойство возведения степени в степень, получаем $5^{4x} = 5^{20}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели: $4x = 20$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, $5^{20} = (5^4)^5$, что равно $625^5$.

Ответ: $625^5$.

5) 5⁵;

Для представления $5^{20}$ в виде степени с основанием $5^5$, мы ищем показатель $x$, для которого выполняется равенство $(5^5)^x = 5^{20}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, левая часть преобразуется в $5^{5 \cdot x}$. Таким образом, $5^{5x} = 5^{20}$.

Приравниваем показатели: $5x = 20$.

Находим $x$: $x = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, $5^{20}$ можно записать как $(5^5)^4$.

Ответ: $(5^5)^4$.

1.84. Вычислите:

1) $\frac{2^5 \cdot (2^3)^3}{2^{13}}$;

2) $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{20}}$;

3) $\frac{(5^5)^2}{25 \cdot 5^6}$;

4) $\frac{81 \cdot 3^6}{(3^4)^3}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$.
Теперь числитель имеет вид $2^5 \cdot 2^9$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^5 \cdot 2^9 = 2^{5+9} = 2^{14}$.
Получаем дробь: $\frac{2^{14}}{2^{13}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{14}}{2^{13}} = 2^{14-13} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Упростим выражение, используя свойства степеней.
В числителе сначала возведем степень в степень: $(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$.
Теперь числитель выглядит так: $5^{16} \cdot 5^7$. Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели: $5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.
Выражение принимает вид: $\frac{5^{23}}{5^{20}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{5^{23}}{5^{20}} = 5^{23-20} = 5^3$.
Вычислим значение: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

3) Для вычисления этого выражения приведем все числа к основанию 5.
Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень: $(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}$.
Упростим знаменатель. Представим число 25 как степень с основанием 5: $25 = 5^2$.
Знаменатель принимает вид: $5^2 \cdot 5^6$. Умножим степени, сложив их показатели: $5^2 \cdot 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{5^{10}}{5^8}$.
Вычтем показатели степеней: $5^{10-8} = 5^2$.
Вычислим результат: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

4) Для решения примера приведем все числа к основанию 3.
В числителе представим число 81 как степень с основанием 3: $81 = 3^4$.
Теперь числитель выглядит так: $3^4 \cdot 3^6$. При умножении степеней их показатели складываются: $3^{4+6} = 3^{10}$.
В знаменателе возведем степень в степень: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.
Получаем дробь: $\frac{3^{10}}{3^{12}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $3^{10-12} = 3^{-2}$.
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на эту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

1.85. Представьте выражение $x^{20}$ в виде степени несколькими способами.

Задача состоит в том, чтобы представить выражение $x^{20}$ в виде степени несколькими различными способами. Для этого мы будем использовать основное свойство степеней, а именно правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Согласно этому правилу, показатель степени исходного выражения (в нашем случае 20) должен быть представлен как произведение двух других чисел ($m$ и $n$). Следовательно, нам нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно 20. Такие числа являются делителями (или множителями) числа 20.

Найдем пары натуральных множителей для числа 20. Основные нетривиальные пары это:
$20 = 2 \cdot 10$
$20 = 4 \cdot 5$

Теперь, используя эти пары, мы можем записать выражение $x^{20}$ в виде степени. Каждая пара множителей дает два способа представления.

На основе пары множителей 2 и 10, мы получаем следующие представления:
1. $x^{20} = (x^2)^{10}$
2. $x^{20} = (x^{10})^2$

На основе пары множителей 4 и 5, мы получаем еще два представления:
3. $x^{20} = (x^4)^5$
4. $x^{20} = (x^5)^4$

Таким образом, мы нашли четыре различных нетривиальных способа представить $x^{20}$ в виде степени.

Ответ: $(x^2)^{10}$; $(x^{10})^2$; $(x^4)^5$; $(x^5)^4$.

1.86. Известно, что $a^3=k$. Найдите $a^{12}$.

1.86.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством степеней. Нам известно, что $a^3 = k$. Нам нужно найти значение $a^{12}$.

Основное свойство, которое мы будем использовать, — это возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Мы можем представить показатель степени 12 как произведение чисел 3 и 4: $12 = 3 \cdot 4$.

Используя это, перепишем выражение $a^{12}$: $a^{12} = a^{3 \cdot 4}$

Теперь, применяя свойство возведения степени в степень в обратном порядке, получаем: $a^{3 \cdot 4} = (a^3)^4$

По условию задачи нам дано, что $a^3 = k$. Подставим это значение в наше выражение: $(a^3)^4 = (k)^4 = k^4$

Следовательно, мы нашли, что $a^{12}$ равно $k^4$.

Ответ: $k^4$.

1.87. Если $a^3=p$ и $b^3=q$, то чему равно выражение $\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^6$?

1.87. Для решения этой задачи необходимо преобразовать данное выражение, используя свойства степеней, а затем подставить известные значения.

Дано выражение:

$(\frac{a^3}{b^2})^6$

Используем свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$. Это позволяет нам возвести в степень числитель и знаменатель по отдельности:

$(\frac{a^3}{b^2})^6 = \frac{(a^3)^6}{(b^2)^6}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{(a^3)^6}{(b^2)^6} = \frac{a^{3 \cdot 6}}{b^{2 \cdot 6}} = \frac{a^{18}}{b^{12}}$

Мы получили выражение $\frac{a^{18}}{b^{12}}$. Теперь нужно выразить его через $p$ и $q$, используя условия задачи: $a^3 = p$ и $b^3 = q$.

Преобразуем числитель $a^{18}$:

$a^{18} = a^{3 \cdot 6} = (a^3)^6$

Так как $a^3 = p$, то:

$(a^3)^6 = p^6$

Теперь преобразуем знаменатель $b^{12}$:

$b^{12} = b^{3 \cdot 4} = (b^3)^4$

Так как $b^3 = q$, то:

$(b^3)^4 = q^4$

Наконец, подставим полученные значения для числителя и знаменателя в итоговое выражение:

$\frac{a^{18}}{b^{12}} = \frac{p^6}{q^4}$

Ответ: $\frac{p^6}{q^4}$

1.88. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, числа:

1) $2^{15}$;

2) $5^{6}$?

1)

Чтобы представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти все возможные представления в форме $A^m$, где $A$ — некоторое основание, а показатель $m$ — натуральное число, $m \neq 1$.

Используя основное свойство степени $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$, мы можем записать $2^{15}$ как $(2^k)^m$. При этом должно выполняться равенство $k \cdot m = 15$. Это означает, что новый показатель степени $m$ должен быть делителем числа 15.

Задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 15, которые больше 1. Найдем все натуральные делители числа 15: это 1, 3, 5, 15.

Согласно условию, показатель $m$ должен быть отличен от 1. Поэтому мы исключаем делитель 1. Остаются следующие возможные показатели: 3, 5, 15. Каждому из них соответствует свой способ представления числа:
• При $m=3$, основание будет $2^{15/3} = 2^5 = 32$. Представление: $32^3$.
• При $m=5$, основание будет $2^{15/5} = 2^3 = 8$. Представление: $8^5$.
• При $m=15$, основание будет $2^{15/15} = 2^1 = 2$. Представление: $2^{15}$.

Таким образом, существует 3 способа представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3 способа.

2)

Аналогично рассуждаем для числа $5^6$. Мы ищем представления вида $(5^k)^m$, где $k \cdot m = 6$ и $m \neq 1$. Количество таких представлений равно количеству натуральных делителей числа 6, за исключением 1.

Найдем все натуральные делители числа 6: это 1, 2, 3, 6.

Исключаем 1, так как по условию $m \neq 1$. Остаются следующие возможные показатели: 2, 3, 6. Каждому из них соответствует свой способ представления числа:
• При $m=2$, основание будет $5^{6/2} = 5^3 = 125$. Представление: $125^2$.
• При $m=3$, основание будет $5^{6/3} = 5^2 = 25$. Представление: $25^3$.
• При $m=6$, основание будет $5^{6/6} = 5^1 = 5$. Представление: $5^6$.

Таким образом, существует 3 способа представить число $5^6$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3 способа.

1.89. При каком условии сумма квадратов двух чисел равна нулю?

Пусть даны два числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Сумма их квадратов представляет собой выражение $a^2 + b^2$. Задача состоит в том, чтобы определить, при каком условии это выражение будет равно нулю:

$a^2 + b^2 = 0$

Рассмотрим свойства каждого слагаемого в этой сумме. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Применительно к нашей задаче это означает, что:

• $a^2 \ge 0$
• $b^2 \ge 0$

Таким образом, мы складываем два неотрицательных числа. Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном единственном случае: когда каждое из этих чисел само по себе равно нулю. Если бы хотя бы одно из слагаемых (например, $a^2$) было бы строго положительным, то для обнуления суммы второе слагаемое ($b^2$) должно было бы стать отрицательным ($b^2 = -a^2$), что невозможно для квадрата действительного числа.

Следовательно, равенство $a^2 + b^2 = 0$ справедливо тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно:

$a^2 = 0$ и $b^2 = 0$

Из этих условий однозначно следует, что и сами числа $a$ и $b$ должны быть равны нулю:

$a = 0$ и $b = 0$

Ответ: Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.

1.90. Может ли уравнение $x^4-x^3+2x^2-4x+1=0$ иметь отрицательные корни?

Чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1 = 0$ иметь отрицательные корни, мы должны проверить, может ли левая часть уравнения быть равной нулю при $x < 0$.

Предположим, что $x$ является отрицательным корнем. Это означает, что $x < 0$. Мы можем представить такое число $x$ в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число, то есть $a > 0$.

Теперь подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - (-a)^3 + 2(-a)^2 - 4(-a) + 1 = 0$

Выполним преобразования, используя свойства степеней:

$a^4 - (-a^3) + 2(a^2) + 4a + 1 = 0$

$a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1 = 0$

Мы получили новое уравнение относительно переменной $a$. Проанализируем левую часть этого уравнения, помня, что по нашему предположению $a > 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в выражении $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 0$), то:

слагаемое $a^4$ строго больше нуля ($a^4 > 0$);

слагаемое $a^3$ строго больше нуля ($a^3 > 0$);

слагаемое $2a^2$ строго больше нуля ($2a^2 > 0$);

слагаемое $4a$ строго больше нуля ($4a > 0$);

слагаемое $1$ также строго больше нуля.

Таким образом, левая часть уравнения, $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1$, является суммой пяти строго положительных чисел. Сумма строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Это означает, что для любого $a > 0$ выполняется неравенство $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1 > 0$. Следовательно, это выражение никогда не может равняться нулю.

Мы пришли к выводу, что для любого отрицательного $x$ левая часть исходного уравнения будет строго положительной, а значит, не может быть равна нулю. Таким образом, предположение о существовании отрицательного корня неверно.

Ответ:

Нет, данное уравнение не может иметь отрицательные корни.

1.91. Какой цифрой оканчивается число $3^{4k}$? Здесь $k$ – некоторое натуральное число.

Для того чтобы определить последнюю цифру числа $3^{4k}$, необходимо проанализировать, как ведут себя последние цифры степеней числа 3.

Рассмотрим последовательные степени числа 3 и их последние цифры:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
• $3^6 = 729$ (оканчивается на 9)

Как видно из примеров, последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что последняя цифра зависит от того, какой остаток дает показатель степени при делении на 4.

В нашем случае показатель степени равен $4k$. Поскольку $k$ по условию является натуральным числом ($k = 1, 2, 3, \ldots$), произведение $4k$ всегда будет делиться на 4 нацело. Показатель степени всегда будет иметь вид $4, 8, 12, 16, \ldots$.

Для показателей степени, кратных 4, последняя цифра числа $3^n$ всегда равна 1 (как у $3^4$, $3^8$ и т.д.).

Также можно решить эту задачу, преобразовав выражение:

$3^{4k} = (3^4)^k$

Мы уже вычислили, что $3^4 = 81$. Подставим это значение в выражение:

$(3^4)^k = 81^k$

Любая натуральная степень числа, которое оканчивается на 1, также будет оканчиваться на 1. Это легко проверить: $81^1=81$, $81^2=6561$, $81^3=\ldots1$. При умножении последняя цифра результата определяется произведением последних цифр множителей, то есть $1 \times 1 = 1$.

Таким образом, для любого натурального $k$ число $3^{4k}$ будет оканчиваться на цифру 1.

Ответ: 1.

1.92. Докажите, что при любом натуральном $n$ число $10^n-1$ кратно 9.

Для доказательства того, что число $10^n - 1$ кратно 9 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование признака делимости на 9

Рассмотрим вид числа $10^n - 1$. Число $10^n$ — это цифра 1, за которой следует $n$ нулей (например, $10^1=10$, $10^2=100$).

При вычитании единицы из $10^n$ получается число, состоящее из $n$ цифр, каждая из которых равна 9. Например: $10^1 - 1 = 9$; $10^2 - 1 = 99$; $10^3 - 1 = 999$. В общем виде: $10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n \text{ раз}}$.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $10^n - 1$: $\underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{n \text{ слагаемых}} = 9n$.

Так как $n$ — натуральное число, произведение $9n$ всегда делится на 9. Следовательно, и само число $10^n - 1$ делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2: Метод математической индукции

Докажем утверждение методом математической индукции. Оно состоит из трех шагов.

Шаг 1: База индукции. Проверим утверждение для $n=1$. Выражение $10^1 - 1 = 9$. Число 9 делится на 9, поэтому база индукции верна.

Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $10^k - 1$ делится на 9. Это значит, что $10^k - 1 = 9m$ для некоторого целого числа $m$. Отсюда можно выразить $10^k = 9m + 1$.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $10^{k+1} - 1$ делится на 9. Преобразуем выражение: $10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1$. Теперь используем индукционное предположение, подставив $10^k = 9m + 1$: $10 \cdot (9m + 1) - 1 = 90m + 10 - 1 = 90m + 9 = 9(10m + 1)$. Поскольку $10m+1$ является целым числом, то произведение $9(10m+1)$ делится на 9. Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение, что $10^n - 1$ кратно 9, верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 3: Использование разложения на множители

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Применим эту формулу к выражению $10^n - 1$, представив его как $10^n - 1^n$. Полагая $a=10$ и $b=1$, получаем:

$10^n - 1^n = (10-1)(10^{n-1} \cdot 1^0 + 10^{n-2} \cdot 1^1 + \dots + 10^0 \cdot 1^{n-1})$

$10^n - 1 = 9 \cdot (10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 10 + 1)$.

Выражение в скобках является суммой целых чисел, поэтому его значение — целое число. Обозначим его $S$. Тогда $10^n - 1 = 9S$. Это означает, что $10^n - 1$ можно представить как произведение 9 на целое число, следовательно, оно кратно 9.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 4: Использование сравнений по модулю

Докажем, что $10^n - 1$ делится на 9, используя теорию сравнений. Требуется доказать, что $10^n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$.

Рассмотрим число 10 по модулю 9. Так как $10 = 1 \cdot 9 + 1$, то $10 \equiv 1 \pmod{9}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Возведем обе части сравнения в степень $n$:

$10^n \equiv 1^n \pmod{9}$.

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, получаем $10^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Вычтем 1 из обеих частей сравнения: $10^n - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{9}$, что дает $10^n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$.

Это сравнение по определению означает, что число $10^n - 1$ делится на 9 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.

1.93. Точка $A(a; -5)$ симметрична точке $B(3; b)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат;

3) начала координат.

Найдите $a$ и $b$ в каждом из указанных случаев.

1) оси абсцисс

Если две точки симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$), то их абсциссы (координаты $x$) равны, а их ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами.
Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает:
$x_A = x_B$
$y_A = -y_B$
Подставим координаты данных точек $A(a; -5)$ и $B(3; b)$:
$a = 3$
$-5 = -b$
Из второго уравнения следует, что $b = 5$.

Ответ: $a = 3$, $b = 5$.

2) оси ординат

Если две точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$), то их абсциссы (координаты $x$) являются противоположными числами, а их ординаты (координаты $y$) равны.
Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает:
$x_A = -x_B$
$y_A = y_B$
Подставим координаты данных точек $A(a; -5)$ и $B(3; b)$:
$a = -3$
$-5 = b$
Таким образом, значения уже найдены.

Ответ: $a = -3$, $b = -5$.

3) начала координат

Если две точки симметричны относительно начала координат (точки $O(0;0)$), то их абсциссы и ординаты являются противоположными числами.
Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ это означает:
$x_A = -x_B$
$y_A = -y_B$
Подставим координаты данных точек $A(a; -5)$ и $B(3; b)$:
$a = -3$
$-5 = -b$
Из второго уравнения следует, что $b = 5$.

Ответ: $a = -3$, $b = 5$.

1.94. Известно, что прямая, заданная уравнением $y=kx+b$, проходит через точки $A(0; 2)$ и $B(-2; 0)$. Найдите $k$ и $b$.

Уравнение прямой задано в виде $y = kx + b$. Нам известно, что эта прямая проходит через две точки: A(0; 2) и B(-2; 0). Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Мы можем составить систему уравнений, подставив координаты точек в исходное уравнение.

1. Подставим координаты точки A(0; 2) в уравнение $y = kx + b$:
$2 = k \cdot 0 + b$
$2 = 0 + b$
$b = 2$
Из координат точки А мы сразу находим значение коэффициента $b$. Он равен ординате точки пересечения прямой с осью Y.

2. Теперь подставим координаты точки B(-2; 0) и уже известное значение $b=2$ в уравнение $y = kx + b$:
$0 = k \cdot (-2) + 2$
$0 = -2k + 2$

3. Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $k$:
$2k = 2$
$k = \frac{2}{2}$
$k = 1$

Таким образом, мы определили оба коэффициента.
Ответ: $k=1, b=2$.

1.95. На элеватор за два дня завезли 1440 т зерна, причем во второй день завезли 80% того количества, что завезли в первый. Сколько тонн зерна завезли на элеватор в первый день?

Пусть $x$ — это количество тонн зерна, которое завезли на элеватор в первый день.

Согласно условию, во второй день завезли 80% от количества первого дня. Чтобы найти 80% от $x$, нужно умножить $x$ на 0,8. Таким образом, во второй день завезли $0.8x$ тонн зерна.

Общее количество зерна, завезенного за два дня, составляет 1440 тонн. Составим уравнение, сложив количество зерна за первый и второй день:

$x + 0.8x = 1440$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$1.8x = 1440$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 1,8:

$x = \frac{1440}{1.8}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{14400}{18}$

Выполним деление:

$x = 800$

Следовательно, в первый день на элеватор завезли 800 тонн зерна.

Ответ: 800 тонн.