Номер 1.92, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.92. Докажите, что при любом натуральном $n$ число $10^n-1$ кратно 9.

Для доказательства того, что число $10^n - 1$ кратно 9 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование признака делимости на 9

Рассмотрим вид числа $10^n - 1$. Число $10^n$ — это цифра 1, за которой следует $n$ нулей (например, $10^1=10$, $10^2=100$).

При вычитании единицы из $10^n$ получается число, состоящее из $n$ цифр, каждая из которых равна 9. Например: $10^1 - 1 = 9$; $10^2 - 1 = 99$; $10^3 - 1 = 999$. В общем виде: $10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n \text{ раз}}$.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $10^n - 1$: $\underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{n \text{ слагаемых}} = 9n$.

Так как $n$ — натуральное число, произведение $9n$ всегда делится на 9. Следовательно, и само число $10^n - 1$ делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2: Метод математической индукции

Докажем утверждение методом математической индукции. Оно состоит из трех шагов.

Шаг 1: База индукции. Проверим утверждение для $n=1$. Выражение $10^1 - 1 = 9$. Число 9 делится на 9, поэтому база индукции верна.

Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $10^k - 1$ делится на 9. Это значит, что $10^k - 1 = 9m$ для некоторого целого числа $m$. Отсюда можно выразить $10^k = 9m + 1$.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $10^{k+1} - 1$ делится на 9. Преобразуем выражение: $10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1$. Теперь используем индукционное предположение, подставив $10^k = 9m + 1$: $10 \cdot (9m + 1) - 1 = 90m + 10 - 1 = 90m + 9 = 9(10m + 1)$. Поскольку $10m+1$ является целым числом, то произведение $9(10m+1)$ делится на 9. Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение, что $10^n - 1$ кратно 9, верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 3: Использование разложения на множители

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Применим эту формулу к выражению $10^n - 1$, представив его как $10^n - 1^n$. Полагая $a=10$ и $b=1$, получаем:

$10^n - 1^n = (10-1)(10^{n-1} \cdot 1^0 + 10^{n-2} \cdot 1^1 + \dots + 10^0 \cdot 1^{n-1})$

$10^n - 1 = 9 \cdot (10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 10 + 1)$.

Выражение в скобках является суммой целых чисел, поэтому его значение — целое число. Обозначим его $S$. Тогда $10^n - 1 = 9S$. Это означает, что $10^n - 1$ можно представить как произведение 9 на целое число, следовательно, оно кратно 9.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 4: Использование сравнений по модулю

Докажем, что $10^n - 1$ делится на 9, используя теорию сравнений. Требуется доказать, что $10^n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$.

Рассмотрим число 10 по модулю 9. Так как $10 = 1 \cdot 9 + 1$, то $10 \equiv 1 \pmod{9}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Возведем обе части сравнения в степень $n$:

$10^n \equiv 1^n \pmod{9}$.

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, получаем $10^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Вычтем 1 из обеих частей сравнения: $10^n - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{9}$, что дает $10^n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$.

Это сравнение по определению означает, что число $10^n - 1$ делится на 9 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.