Номер 1.88, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, числа:

1) $2^{15}$;

2) $5^{6}$?

1)

Чтобы представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти все возможные представления в форме $A^m$, где $A$ — некоторое основание, а показатель $m$ — натуральное число, $m \neq 1$.

Используя основное свойство степени $(a^k)^m = a^{k \cdot m}$, мы можем записать $2^{15}$ как $(2^k)^m$. При этом должно выполняться равенство $k \cdot m = 15$. Это означает, что новый показатель степени $m$ должен быть делителем числа 15.

Задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 15, которые больше 1. Найдем все натуральные делители числа 15: это 1, 3, 5, 15.

Согласно условию, показатель $m$ должен быть отличен от 1. Поэтому мы исключаем делитель 1. Остаются следующие возможные показатели: 3, 5, 15. Каждому из них соответствует свой способ представления числа:
• При $m=3$, основание будет $2^{15/3} = 2^5 = 32$. Представление: $32^3$.
• При $m=5$, основание будет $2^{15/5} = 2^3 = 8$. Представление: $8^5$.
• При $m=15$, основание будет $2^{15/15} = 2^1 = 2$. Представление: $2^{15}$.

Таким образом, существует 3 способа представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3 способа.

2)

Аналогично рассуждаем для числа $5^6$. Мы ищем представления вида $(5^k)^m$, где $k \cdot m = 6$ и $m \neq 1$. Количество таких представлений равно количеству натуральных делителей числа 6, за исключением 1.

Найдем все натуральные делители числа 6: это 1, 2, 3, 6.

Исключаем 1, так как по условию $m \neq 1$. Остаются следующие возможные показатели: 2, 3, 6. Каждому из них соответствует свой способ представления числа:
• При $m=2$, основание будет $5^{6/2} = 5^3 = 125$. Представление: $125^2$.
• При $m=3$, основание будет $5^{6/3} = 5^2 = 25$. Представление: $25^3$.
• При $m=6$, основание будет $5^{6/6} = 5^1 = 5$. Представление: $5^6$.

Таким образом, существует 3 способа представить число $5^6$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3 способа.