Номер 1.91, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Какой цифрой оканчивается число $3^{4k}$? Здесь $k$ – некоторое натуральное число.

Для того чтобы определить последнюю цифру числа $3^{4k}$, необходимо проанализировать, как ведут себя последние цифры степеней числа 3.

Рассмотрим последовательные степени числа 3 и их последние цифры:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
• $3^6 = 729$ (оканчивается на 9)

Как видно из примеров, последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что последняя цифра зависит от того, какой остаток дает показатель степени при делении на 4.

В нашем случае показатель степени равен $4k$. Поскольку $k$ по условию является натуральным числом ($k = 1, 2, 3, \ldots$), произведение $4k$ всегда будет делиться на 4 нацело. Показатель степени всегда будет иметь вид $4, 8, 12, 16, \ldots$.

Для показателей степени, кратных 4, последняя цифра числа $3^n$ всегда равна 1 (как у $3^4$, $3^8$ и т.д.).

Также можно решить эту задачу, преобразовав выражение:

$3^{4k} = (3^4)^k$

Мы уже вычислили, что $3^4 = 81$. Подставим это значение в выражение:

$(3^4)^k = 81^k$

Любая натуральная степень числа, которое оканчивается на 1, также будет оканчиваться на 1. Это легко проверить: $81^1=81$, $81^2=6561$, $81^3=\ldots1$. При умножении последняя цифра результата определяется произведением последних цифр множителей, то есть $1 \times 1 = 1$.

Таким образом, для любого натурального $k$ число $3^{4k}$ будет оканчиваться на цифру 1.

Ответ: 1.