Вопросы, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение степени с отрицательным показателем.

2. Сформулируйте свойства 1) –5). Приведите соответствующие примеры.

3. Как можно перевести число (выражение) со знаменателя дроби в ее числитель? Приведите пример.

4. Как можно перевести число (выражение) с числителя дроби в ее знаменатель? Приведите пример.

5. Может ли основание степени с нулевым показателем равняться нулю?

6. Каким будет знак показателя степени выражения:

1) $(a^{-2})^{-3}$; 2) $a^{-5} \cdot (a^{-3})^2$, если его записать в виде степени с основанием $a$?

Понятие степени с отрицательным показателем ввел Николай Шюке в XII веке. До этого английский математик Джон Валлис высказывал об уместности рассмотрения степеней с отрицательными показателями. А И. Ньютон начал систематически использовать это понятие. В 1676 году в одном из своих писем он написал следующее: «Как алгебраисты вместо AA, AAA и т.д. пишут $A^2, A^3$ и т.д., так я вместо $\frac{1}{a}, \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a^3}$ и т.д. пишу $a^{-1}, a^{-2}, a^{-3}$ и т.д.».

1. Степенью числа a, не равного нулю, с отрицательным целым показателем -n называется число, обратное степени этого числа a с натуральным показателем n.

Формула определения: для любого $a \ne 0$ и целого $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Например, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: Степень числа $a \ne 0$ с отрицательным показателем $-n$ есть $\frac{1}{a^n}$.

2. Свойства степени с целым показателем (для любых $a \ne 0$, $b \ne 0$ и любых целых $p$ и $q$):

1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Пример: $7^{-3} \cdot 7^5 = 7^{-3+5} = 7^2 = 49$.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя: $a^p : a^q = a^{p-q}$.

Пример: $4^2 : 4^4 = 4^{2-4} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.

3) Возведение степени в степень. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^p)^q = a^{pq}$.

Пример: $(3^{-2})^{-1} = 3^{(-2) \cdot (-1)} = 3^2 = 9$.

4) Возведение в степень произведения. Чтобы возвести в степень произведение, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить: $(ab)^p = a^p b^p$.

Пример: $(2x)^{-3} = 2^{-3} \cdot x^{-3} = \frac{1}{8}x^{-3} = \frac{1}{8x^3}$.

5) Возведение в степень дроби. Чтобы возвести в степень дробь, нужно ее числитель и знаменатель возвести в эту же степень: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

Пример: $(\frac{2}{5})^{-3} = \frac{2^{-3}}{5^{-3}} = \frac{1/2^3}{1/5^3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Ответ: Свойства: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$; $a^p : a^q = a^{p-q}$; $(a^p)^q = a^{pq}$; $(ab)^p = a^p b^p$; $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$. Примеры приведены выше.

3. Чтобы перевести число (выражение) из знаменателя дроби в ее числитель, нужно показатель его степени заменить на противоположный. Это следует из определения степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Пример: Выражение $\frac{x}{y^4}$ можно записать как $x \cdot y^{-4}$.

Ответ: Чтобы перенести множитель из знаменателя в числитель, нужно изменить знак его показателя степени, например, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

4. Чтобы перевести число (выражение) из числителя дроби в ее знаменатель, нужно, как и в предыдущем случае, заменить показатель его степени на противоположный. Это следует из тождества $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

Пример: Выражение $c^{-5}$ можно записать как $\frac{1}{c^5}$. Дробь $\frac{x^2}{y}$ можно представить в виде $\frac{1}{x^{-2}y}$.

Ответ: Чтобы перенести множитель из числителя в знаменатель, нужно изменить знак его показателя степени, например, $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

5. Нет, основание степени с нулевым показателем не может равняться нулю. Выражение $a^0$ определено для любого числа $a$, кроме $a=0$. Это связано с тем, что свойство $a^0=1$ выводится из правила деления степеней: $a^n:a^n = a^{n-n} = a^0$. С другой стороны, $a^n:a^n = 1$. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $a^n \neq 0$, а значит $a \neq 0$. Выражение $0^0$ в алгебре считается неопределенным.

Ответ: Нет, не может.

6. Для определения знака показателя степени необходимо упростить выражения, используя свойства степеней.

1) $(a^{-2})^{-3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$:

$(a^{-2})^{-3} = a^{(-2) \cdot (-3)} = a^6$

Показатель степени равен 6. Знак показателя — положительный (+).

2) $a^{-5} \cdot (a^{-3})^2$

Сначала упростим второй множитель: $(a^{-3})^2 = a^{(-3) \cdot 2} = a^{-6}$.

Теперь перемножим степени: $a^{-5} \cdot a^{-6}$. Используем свойство умножения степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$a^{-5} \cdot a^{-6} = a^{-5 + (-6)} = a^{-11}$

Показатель степени равен -11. Знак показателя — отрицательный (-).

Ответ: 1) положительный; 2) отрицательный.