Номер 1.103, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.103. Представьте выражение в виде степени с основанием 2:

1) $8 \cdot 2^{-4}$;

2) $(2^{-1})^{5} : 16^{2}$;

3) $4^{-2} : 2^{-6}$;

4) $16^{3} : (4^{-2})^{-3}$.

1) Чтобы представить выражение $8 \cdot 2^{-4}$ в виде степени с основанием 2, сначала запишем число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Теперь подставим это в исходное выражение: $8 \cdot 2^{-4} = 2^3 \cdot 2^{-4}$. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), согласно которому показатели степеней складываются: $2^3 \cdot 2^{-4} = 2^{3 + (-4)} = 2^{3-4} = 2^{-1}$. Ответ: $2^{-1}$.

2) Рассмотрим выражение $(2^{-1})^5 : 16^2$. Сначала упростим каждый его компонент. Для первого компонента используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(2^{-1})^5 = 2^{-1 \cdot 5} = 2^{-5}$. Для второго компонента представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$. Тогда $16^2 = (2^4)^2$. Снова применяем свойство возведения степени в степень: $(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$. Теперь исходное выражение можно записать как $2^{-5} : 2^8$. Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), по которому показатели вычитаются: $2^{-5} : 2^8 = 2^{-5 - 8} = 2^{-13}$. Ответ: $2^{-13}$.

3) В выражении $4^{-2} : 2^{-6}$ представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда первый член $4^{-2}$ станет $(2^2)^{-2}$. Используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем: $(2^2)^{-2} = 2^{2 \cdot (-2)} = 2^{-4}$. Теперь все выражение имеет вид $2^{-4} : 2^{-6}$. Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $2^{-4} : 2^{-6} = 2^{-4 - (-6)} = 2^{-4 + 6} = 2^2$. Ответ: $2^2$.

4) В выражении $16^3 : (4^{-2})^{-3}$ представим числа 16 и 4 в виде степеней с основанием 2: $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$. Преобразуем делимое: $16^3 = (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$. Преобразуем делитель, последовательно применяя свойство возведения степени в степень: $(4^{-2})^{-3} = ((2^2)^{-2})^{-3} = (2^{2 \cdot (-2)})^{-3} = (2^{-4})^{-3} = 2^{-4 \cdot (-3)} = 2^{12}$. Теперь выражение можно записать как $2^{12} : 2^{12}$. Используем свойство деления степеней: $2^{12} : 2^{12} = 2^{12-12} = 2^0$. Ответ: $2^0$.