Номер 1.101, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Вычислите:

1) $7^3 \cdot 7^{-2}$;

2) $2 : 2^{-2}$;

3) $(3^{-1})^2$;

4) $(5^{-2})^{-1}$;

5) $8^{-2} \cdot 4^3$;

6) $10^0 : 10^{-3}$;

7) $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}$;

8) $3^{-6} \cdot (3^{-2})^{-4}$.

1) Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $7^3 \cdot 7^{-2}$ используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, мы складываем показатели степеней: $7^3 \cdot 7^{-2} = 7^{3 + (-2)} = 7^{3-2} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

2) В выражении $2 : 2^{-2}$ число $2$ можно представить как $2^1$. Для деления степеней с одинаковым основанием применяется свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатель делителя из показателя делимого: $2^1 : 2^{-2} = 2^{1-(-2)} = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

3) Для возведения степени в степень в выражении $(3^{-1})^2$ используется свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Показатели степеней перемножаются: $(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

4) В выражении $(5^{-2})^{-1}$ также применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножаем показатели: $(5^{-2})^{-1} = 5^{(-2) \cdot (-1)} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

5) Чтобы вычислить $8^{-2} \cdot 4^3$, необходимо привести основания степеней $8$ и $4$ к одному числу. Оба числа являются степенями двойки: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставляем эти значения в исходное выражение: $(2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$. Теперь используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$. Далее, по свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-6+6} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1

6) Для вычисления частного $10^0 : 10^{-3}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатели: $10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

7) В выражении $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}$ все множители являются степенями с одинаковым основанием $10$. Применяем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$ и складываем все показатели: $10^{8 + (-5) + (-4)} = 10^{8-5-4} = 10^{8-9} = 10^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Ответ: 0.1

8) В выражении $3^{-6} \cdot (3^{-2})^{-4}$ сначала упростим второй множитель $(3^{-2})^{-4}$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$. Теперь выражение принимает вид $3^{-6} \cdot 3^8$. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{-6+8} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9