Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.100. Представьте дробь в виде произведения:

1) $ \frac{5}{x^3} $;

2) $ \frac{2m^3}{n^5} $;

3) $ \frac{1}{a^3b^2} $;

4) $ \frac{2x}{a-b} $;

5) $ \frac{a}{b} $;

6) $ \frac{p^5}{q^4} $;

7) $ \frac{c}{a^3b^4} $;

8) $ \frac{(x-y)^2}{25(x+y)^4} $.

1) Чтобы представить дробь $\frac{5}{x^3}$ в виде произведения, мы воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Дробь можно записать как произведение числителя на число, обратное знаменателю: $\frac{5}{x^3} = 5 \cdot \frac{1}{x^3}$. Применяя свойство отрицательной степени к знаменателю, получаем: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. Таким образом, исходная дробь в виде произведения будет: $5x^{-3}$.
Ответ: $5x^{-3}$

2) Представим дробь $\frac{2m^3}{n^5}$ как произведение числителя $2m^3$ и выражения, обратного знаменателю $n^5$. $\frac{2m^3}{n^5} = 2m^3 \cdot \frac{1}{n^5}$. Используя правило для отрицательных степеней $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, мы можем преобразовать множитель $\frac{1}{n^5}$: $\frac{1}{n^5} = n^{-5}$. В результате получаем произведение: $2m^3n^{-5}$.
Ответ: $2m^3n^{-5}$

3) Чтобы представить дробь $\frac{1}{a^3b^2}$ в виде произведения, мы можем рассматривать знаменатель $a^3b^2$ как произведение двух множителей: $a^3$ и $b^2$. Дробь можно переписать следующим образом: $\frac{1}{a^3b^2} = \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^2}$. Теперь применим правило отрицательной степени $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ к каждому множителю: $\frac{1}{a^3} = a^{-3}$ и $\frac{1}{b^2} = b^{-2}$. Перемножив эти выражения, получаем: $a^{-3}b^{-2}$.
Ответ: $a^{-3}b^{-2}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{2x}{a-b}$. Здесь числитель равен $2x$, а знаменатель — это выражение $(a-b)$. Представим дробь в виде произведения числителя и обратного к знаменателю выражения: $\frac{2x}{a-b} = 2x \cdot \frac{1}{a-b}$. Применяя свойство отрицательной степени к выражению в знаменателе (рассматривая его как единое целое), получаем: $\frac{1}{a-b} = (a-b)^{-1}$. Таким образом, итоговое произведение: $2x(a-b)^{-1}$.
Ответ: $2x(a-b)^{-1}$

5) Дробь $\frac{a}{b}$ можно представить как произведение числителя $a$ и числа, обратного знаменателю $b$. $\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$. По определению степени с отрицательным показателем, $b^{-1} = \frac{1}{b}$. Следовательно, дробь можно записать в виде произведения: $ab^{-1}$.
Ответ: $ab^{-1}$

6) Чтобы представить дробь $\frac{p^5}{q^4}$ в виде произведения, запишем ее как произведение числителя $p^5$ и обратного к знаменателю выражения. $\frac{p^5}{q^4} = p^5 \cdot \frac{1}{q^4}$. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем второй множитель: $\frac{1}{q^4} = q^{-4}$. В результате получаем произведение: $p^5q^{-4}$.
Ответ: $p^5q^{-4}$

7) Представим дробь $\frac{c}{a^3b^4}$ в виде произведения. Числитель — $c$, знаменатель — $a^3b^4$. $\frac{c}{a^3b^4} = c \cdot \frac{1}{a^3b^4} = c \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^4}$. Применим правило отрицательной степени к каждому множителю из знаменателя: $\frac{1}{a^3} = a^{-3}$ и $\frac{1}{b^4} = b^{-4}$. Объединив все множители, получаем: $ca^{-3}b^{-4}$.
Ответ: $ca^{-3}b^{-4}$

8) Рассмотрим дробь $\frac{(x-y)^2}{25(x+y)^4}$. Представим ее как произведение множителей числителя и множителей, обратных множителям знаменателя. $\frac{(x-y)^2}{25(x+y)^4} = (x-y)^2 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{(x+y)^4}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем, преобразуем множитель $\frac{1}{(x+y)^4}$: $\frac{1}{(x+y)^4} = (x+y)^{-4}$. Коэффициент $\frac{1}{25}$ можно оставить в виде дроби. Таким образом, итоговое выражение в виде произведения: $\frac{1}{25}(x-y)^2(x+y)^{-4}$.
Ответ: $\frac{1}{25}(x-y)^2(x+y)^{-4}$

1.101. Вычислите:

1) $7^3 \cdot 7^{-2}$;

2) $2 : 2^{-2}$;

3) $(3^{-1})^2$;

4) $(5^{-2})^{-1}$;

5) $8^{-2} \cdot 4^3$;

6) $10^0 : 10^{-3}$;

7) $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}$;

8) $3^{-6} \cdot (3^{-2})^{-4}$.

1) Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $7^3 \cdot 7^{-2}$ используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, мы складываем показатели степеней: $7^3 \cdot 7^{-2} = 7^{3 + (-2)} = 7^{3-2} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

2) В выражении $2 : 2^{-2}$ число $2$ можно представить как $2^1$. Для деления степеней с одинаковым основанием применяется свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатель делителя из показателя делимого: $2^1 : 2^{-2} = 2^{1-(-2)} = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

3) Для возведения степени в степень в выражении $(3^{-1})^2$ используется свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Показатели степеней перемножаются: $(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

4) В выражении $(5^{-2})^{-1}$ также применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножаем показатели: $(5^{-2})^{-1} = 5^{(-2) \cdot (-1)} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

5) Чтобы вычислить $8^{-2} \cdot 4^3$, необходимо привести основания степеней $8$ и $4$ к одному числу. Оба числа являются степенями двойки: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставляем эти значения в исходное выражение: $(2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$. Теперь используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$. Далее, по свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-6+6} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1

6) Для вычисления частного $10^0 : 10^{-3}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатели: $10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

7) В выражении $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}$ все множители являются степенями с одинаковым основанием $10$. Применяем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$ и складываем все показатели: $10^{8 + (-5) + (-4)} = 10^{8-5-4} = 10^{8-9} = 10^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Ответ: 0.1

8) В выражении $3^{-6} \cdot (3^{-2})^{-4}$ сначала упростим второй множитель $(3^{-2})^{-4}$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$. Теперь выражение принимает вид $3^{-6} \cdot 3^8$. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{-6+8} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

1.102. Представьте степень в виде произведения:

1) $(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2}$;

2) $(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2}$;

3) $(0,25m^{-2}n^2)^{-3}$;

4) $(a^3 \cdot b^{-1})^2$;

5) $(-3p^3 \cdot q^{-1})^2$;

6) $(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3$.

1) Для того чтобы представить степень в виде произведения, необходимо воспользоваться свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим эти свойства к выражению $(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2}$:
$(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2} = (x^{-1})^{-2} \cdot (y^{-2})^{-2} = x^{-1 \cdot (-2)} \cdot y^{-2 \cdot (-2)} = x^2 \cdot y^4$.
Ответ: $x^2y^4$.

2) Для выражения $(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2}$ применим те же свойства. Каждый множитель в скобках возводим в степень $-2$:
$(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$.
Теперь вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2 = 4$.
$(a^{-3})^{-2} = a^{-3 \cdot (-2)} = a^6$.
$(b^3)^{-2} = b^{3 \cdot (-2)} = b^{-6}$.
Объединяя полученные результаты, получаем произведение: $4a^6b^{-6}$.
Ответ: $4a^6b^{-6}$.

3) Для выражения $(0,25m^{-2}n^2)^{-3}$ сначала представим десятичную дробь 0,25 в виде степени. $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Тогда выражение примет вид $((2^{-2})m^{-2}n^2)^{-3}$.
Возведем каждый множитель в степень $-3$:
$(2^{-2})^{-3} \cdot (m^{-2})^{-3} \cdot (n^2)^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} \cdot m^{(-2) \cdot (-3)} \cdot n^{2 \cdot (-3)} = 2^6 \cdot m^6 \cdot n^{-6}$.
Так как $2^6 = 64$, итоговое произведение равно $64m^6n^{-6}$.
Ответ: $64m^6n^{-6}$.

4) Для выражения $(a^3 \cdot b^{-1})^2$ применим свойство возведения произведения в степень:
$(a^3 \cdot b^{-1})^2 = (a^3)^2 \cdot (b^{-1})^2$.
Далее используем свойство возведения степени в степень:
$a^{3 \cdot 2} \cdot b^{-1 \cdot 2} = a^6b^{-2}$.
Ответ: $a^6b^{-2}$.

5) В выражении $(-3p^3 \cdot q^{-1})^2$ возведем в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках:
$(-3p^3 \cdot q^{-1})^2 = (-3)^2 \cdot (p^3)^2 \cdot (q^{-1})^2$.
Выполним вычисления для каждого множителя:
$(-3)^2 = 9$.
$(p^3)^2 = p^{3 \cdot 2} = p^6$.
$(q^{-1})^2 = q^{-1 \cdot 2} = q^{-2}$.
Результатом будет произведение $9p^6q^{-2}$.
Ответ: $9p^6q^{-2}$.

6) Для выражения $(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3$ возведем в куб каждый множитель в скобках:
$(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^2)^3$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
$(x^{-3})^3 = x^{-3 \cdot 3} = x^{-9}$.
$(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
Объединив все части, получим произведение $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.
Ответ: $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.

1.103. Представьте выражение в виде степени с основанием 2:

1) $8 \cdot 2^{-4}$;

2) $(2^{-1})^{5} : 16^{2}$;

3) $4^{-2} : 2^{-6}$;

4) $16^{3} : (4^{-2})^{-3}$.

1) Чтобы представить выражение $8 \cdot 2^{-4}$ в виде степени с основанием 2, сначала запишем число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Теперь подставим это в исходное выражение: $8 \cdot 2^{-4} = 2^3 \cdot 2^{-4}$. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), согласно которому показатели степеней складываются: $2^3 \cdot 2^{-4} = 2^{3 + (-4)} = 2^{3-4} = 2^{-1}$. Ответ: $2^{-1}$.

2) Рассмотрим выражение $(2^{-1})^5 : 16^2$. Сначала упростим каждый его компонент. Для первого компонента используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(2^{-1})^5 = 2^{-1 \cdot 5} = 2^{-5}$. Для второго компонента представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$. Тогда $16^2 = (2^4)^2$. Снова применяем свойство возведения степени в степень: $(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$. Теперь исходное выражение можно записать как $2^{-5} : 2^8$. Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), по которому показатели вычитаются: $2^{-5} : 2^8 = 2^{-5 - 8} = 2^{-13}$. Ответ: $2^{-13}$.

3) В выражении $4^{-2} : 2^{-6}$ представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда первый член $4^{-2}$ станет $(2^2)^{-2}$. Используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем: $(2^2)^{-2} = 2^{2 \cdot (-2)} = 2^{-4}$. Теперь все выражение имеет вид $2^{-4} : 2^{-6}$. Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $2^{-4} : 2^{-6} = 2^{-4 - (-6)} = 2^{-4 + 6} = 2^2$. Ответ: $2^2$.

4) В выражении $16^3 : (4^{-2})^{-3}$ представим числа 16 и 4 в виде степеней с основанием 2: $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$. Преобразуем делимое: $16^3 = (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$. Преобразуем делитель, последовательно применяя свойство возведения степени в степень: $(4^{-2})^{-3} = ((2^2)^{-2})^{-3} = (2^{2 \cdot (-2)})^{-3} = (2^{-4})^{-3} = 2^{-4 \cdot (-3)} = 2^{12}$. Теперь выражение можно записать как $2^{12} : 2^{12}$. Используем свойство деления степеней: $2^{12} : 2^{12} = 2^{12-12} = 2^0$. Ответ: $2^0$.

1.104. Каждое из чисел 16, 8, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$ замените степенью с основанием 2.

Для того чтобы представить каждое из чисел в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $2^x = \text{заданное число}$. Для этого мы будем использовать определение степени с натуральным, нулевым и целым отрицательным показателем.

16. Чтобы получить 16, нужно число 2 умножить само на себя 4 раза: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Согласно определению степени с натуральным показателем, это можно записать как $2^4$.
Ответ: $16 = 2^4$

8. Число 8 можно получить, умножив 2 само на себя 3 раза: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Следовательно, в виде степени с основанием 2 это записывается как $2^3$.
Ответ: $8 = 2^3$

4. Число 4 является произведением двух двоек: $2 \cdot 2 = 4$. Это соответствует второй степени числа 2.
Ответ: $4 = 2^2$

2. Любое число в первой степени равно самому себе. Таким образом, число 2 можно представить как 2 в первой степени.
Ответ: $2 = 2^1$

1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Следовательно, 1 можно представить как 2 в нулевой степени.
Ответ: $1 = 2^0$

$\frac{1}{2}$. Для представления дробей вида $\frac{1}{a^n}$ используется степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае, $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} $, что равно $2^{-1}$.
Ответ: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\frac{1}{4}$. Сначала представим знаменатель дроби, число 4, в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Затем, используя правило для отрицательной степени, получаем: $ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Ответ: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$

$\frac{1}{8}$. Представим знаменатель 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$. Тогда, по правилу для отрицательной степени, имеем: $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Ответ: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$

1.105. Найдите значение выражения:

1) $18 \cdot (-9)^{-1}$;

2) $0,5^{-2} + \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}$;

3) $10^2 \cdot \left(\frac{1}{50}\right)^{-1}$;

4) $(0,97)^0 + (0,1)^{-3}$;

5) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$;

6) $2^{-3} - 3^{-2}$.

1) Для вычисления значения выражения $18 \cdot (-9)^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим это свойство к $(-9)^{-1}$:

$(-9)^{-1} = \frac{1}{(-9)^1} = -\frac{1}{9}$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение:

$18 \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{18}{9} = -2$

Ответ: $-2$

2) Для вычисления значения выражения $0,5^{-2} + (\frac{1}{4})^{-1}$ сначала преобразуем десятичную дробь $0,5$ в обыкновенную $\frac{1}{2}$. Затем воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

$(\frac{1}{4})^{-1} = (\frac{4}{1})^1 = 4$

Теперь сложим полученные значения:

$4 + 4 = 8$

Ответ: $8$

3) Для вычисления значения выражения $10^2 \cdot (\frac{1}{50})^{-1}$ сначала возведем $10$ в квадрат, а затем применим свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$10^2 = 100$

$(\frac{1}{50})^{-1} = (\frac{50}{1})^1 = 50$

Теперь перемножим полученные значения:

$100 \cdot 50 = 5000$

Ответ: $5000$

4) Для вычисления значения выражения $(0,97)^0 + (0,1)^{-3}$ воспользуемся свойствами степеней: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно $1$ ($a^0=1$), и свойством степени с отрицательным показателем.

Первое слагаемое: $(0,97)^0 = 1$.

Для второго слагаемого преобразуем $0,1$ в обыкновенную дробь: $0,1 = \frac{1}{10}$.

$(0,1)^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = (\frac{10}{1})^3 = 10^3 = 1000$

Сложим полученные значения:

$1 + 1000 = 1001$

Ответ: $1001$

5) Для вычисления значения выражения $(\frac{2}{3})^{-2}$ воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $2,25$.

Ответ: $\frac{9}{4}$

6) Для вычисления значения выражения $2^{-3} - 3^{-2}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 9 равен $8 \cdot 9 = 72$.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9}{72} - \frac{1 \cdot 8}{72} = \frac{9 - 8}{72} = \frac{1}{72}$

Ответ: $\frac{1}{72}$

1.106. Докажите равенство $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $, где $ a \neq 0, b \neq 0 $.

Для доказательства равенства $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо преобразовать левую часть выражения, используя свойства степеней. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все дроби в выражении определены.

1. Начнем с левой части равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

2. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$ для любого ненулевого $x$. В данном случае $x = \frac{a}{b}$ и показатель степени равен $-n$.

Применяя это свойство, получаем:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$

3. Далее используем свойство возведения дроби в степень: $(\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$. Применим его к знаменателю:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Подставим это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$

4. Мы получили многоэтажную дробь. Чтобы ее упростить, нужно единицу разделить на дробь $\frac{a^n}{b^n}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$

5. Наконец, используем свойство возведения дроби в степень в обратном порядке: $\frac{p^k}{q^k} = (\frac{p}{q})^k$.

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, мы последовательно преобразовали левую часть исходного равенства и получили в точности его правую часть.

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$

Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказывается путем последовательного применения определения степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = 1/x^n$) и свойства возведения дроби в степень ($(p/q)^n = p^n/q^n$), что приводит левую часть выражения к виду правой части.

1.107. Сравните с нулем:

1) $(-0,001)^6$;

2) $(-\frac{1}{25})^{-3}$;

3) $(-5)^4$;

4) $(-2)^{-3}$.

1) Чтобы сравнить выражение $(-0,001)^6$ с нулем, определим знак результата. Основание степени $(-0,001)$ является отрицательным числом. Показатель степени $6$ является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен, так как произведение четного числа отрицательных сомножителей является положительным числом. Таким образом, $(-0,001)^6 > 0$.
Ответ: $(-0,001)^6 > 0$.

2) Рассмотрим выражение $(-\frac{1}{25})^{-3}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{1}{25})^{-3} = (-\frac{25}{1})^3 = (-25)^3$.
Теперь необходимо определить знак выражения $(-25)^3$. Основание степени $-25$ — отрицательное число, а показатель степени $3$ — нечетное число. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда отрицателен.
Следовательно, $(-25)^3 < 0$, а значит и $(-\frac{1}{25})^{-3} < 0$.
Ответ: $(-\frac{1}{25})^{-3} < 0$.

3) В выражении $(-5)^4$ основание степени $-5$ является отрицательным, а показатель степени $4$ — четным. Возведение отрицательного числа в четную степень всегда дает положительный результат.
$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$.
Поскольку $625 > 0$, то $(-5)^4 > 0$.
Ответ: $(-5)^4 > 0$.

4) Для выражения $(-2)^{-3}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.
Теперь определим знак знаменателя. В выражении $(-2)^3$ основание $-2$ отрицательное, а показатель $3$ нечетный. Результат возведения отрицательного числа в нечетную степень будет отрицательным: $(-2)^3 = -8$.
Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Это число меньше нуля, следовательно, $(-2)^{-3} < 0$.
Ответ: $(-2)^{-3} < 0$.