Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. Упростите выражение:

1) $ \frac{\left(3^n + 3^{n-1}\right)^2}{9^{n-1}} $; 2) $ \frac{\left(5^n - 5^{n-1}\right)^3}{125^{n-1}} $; 3) $ \frac{4^{n-2}}{\left(2^{n-1} - 2^{n-2}\right)^2} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{(3^n + 3^{n-1})^2}{9^{n-1}} $.
Сначала упростим числитель. Вынесем общий множитель $3^{n-1}$ за скобки в выражении $3^n + 3^{n-1}$:
$3^n + 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 3^1 + 3^{n-1} \cdot 1 = 3^{n-1}(3 + 1) = 4 \cdot 3^{n-1}$.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(4 \cdot 3^{n-1})^2 = 4^2 \cdot (3^{n-1})^2 = 16 \cdot 3^{2(n-1)} = 16 \cdot 3^{2n-2}$.
Далее упростим знаменатель. Представим основание 9 как $3^2$:
$9^{n-1} = (3^2)^{n-1} = 3^{2(n-1)} = 3^{2n-2}$.
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}} $.
Сократим дробь на общий множитель $3^{2n-2}$ и получим результат.
$ \frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}} = 16 $.

Ответ: 16

2) Исходное выражение: $ \frac{(5^n - 5^{n-1})^3}{125^{n-1}} $.
Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся за скобки общий множитель $5^{n-1}$:
$5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1} \cdot 5^1 - 5^{n-1} \cdot 1 = 5^{n-1}(5 - 1) = 4 \cdot 5^{n-1}$.
Возведем полученное выражение в куб:
$(4 \cdot 5^{n-1})^3 = 4^3 \cdot (5^{n-1})^3 = 64 \cdot 5^{3(n-1)} = 64 \cdot 5^{3n-3}$.
Теперь упростим знаменатель. Представим основание 125 как $5^3$:
$125^{n-1} = (5^3)^{n-1} = 5^{3(n-1)} = 5^{3n-3}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$ \frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}} $.
Сократим дробь на $5^{3n-3}$ и получим конечный результат.
$ \frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}} = 64 $.

Ответ: 64

3) Исходное выражение: $ \frac{4^{n-2}}{(2^{n-1} - 2^{n-2})^2} $.
Упростим числитель, представив основание 4 как $2^2$:
$4^{n-2} = (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$.
Далее упростим знаменатель. Сначала преобразуем выражение в скобках, вынеся общий множитель $2^{n-2}$:
$2^{n-1} - 2^{n-2} = 2^{n-2} \cdot 2^1 - 2^{n-2} \cdot 1 = 2^{n-2}(2 - 1) = 2^{n-2}$.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(2^{n-2})^2 = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2^{2n-4}}{2^{2n-4}} $.
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их частное равно 1.

Ответ: 1

1.118. Для того чтобы подняться в гору по тропе длиной 9 км и спуститься по той же тропе обратно, туристам потребовалось 5 ч. С какой скоростью шли туристы при подъеме в гору, если известно, что на обратном пути их скорость возросла в 1,5 раза?

Для решения данной задачи составим уравнение, основанное на формуле пути $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время. Из этой формулы можно выразить время: $t = \frac{S}{v}$.

Обозначим искомое значение — скорость туристов при подъеме в гору — через $x$ км/ч.

Согласно условию задачи:

• Расстояние в гору (длина тропы): $S = 9$ км.
• Скорость при подъеме в гору: $v_1 = x$ км/ч.
• Время, затраченное на подъем: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{9}{x}$ ч.

На обратном пути (спуске):

• Расстояние такое же: $S = 9$ км.
• Скорость при спуске, по условию, возросла в 1,5 раза: $v_2 = 1,5 \cdot x$ км/ч.
• Время, затраченное на спуск: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{9}{1,5x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь (подъем и спуск), составляет 5 часов. Мы можем составить уравнение, сложив время подъема и время спуска:

$t_1 + t_2 = 5$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{9}{x} + \frac{9}{1,5x} = 5$

Теперь решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $1,5x$:

$\frac{9 \cdot 1,5}{1,5x} + \frac{9}{1,5x} = 5$

$\frac{13,5}{1,5x} + \frac{9}{1,5x} = 5$

$\frac{13,5 + 9}{1,5x} = 5$

$\frac{22,5}{1,5x} = 5$

Чтобы найти $x$, выразим $1,5x$:

$1,5x = \frac{22,5}{5}$

$1,5x = 4,5$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{4,5}{1,5}$

$x = 3$

Таким образом, скорость туристов при подъеме в гору составляла 3 км/ч.

Выполним проверку:

1. Время на подъем: $t_1 = \frac{9 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

2. Скорость на спуске: $v_2 = 1,5 \cdot 3 \text{ км/ч} = 4,5$ км/ч.

3. Время на спуск: $t_2 = \frac{9 \text{ км}}{4,5 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

4. Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 + 2 = 5$ часов.

Полученное общее время совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 3 км/ч.

1.119. В хозяйстве 20 кур и кроликов, всего у них 52 ноги. Сколько кур и сколько кроликов в хозяйстве?

Для решения данной задачи можно использовать систему уравнений или арифметический метод. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Решение с помощью системы уравнений

Обозначим количество кур за $x$, а количество кроликов — за $y$.

По условию, всего в хозяйстве 20 животных. Составим первое уравнение:
$x + y = 20$

Мы знаем, что у каждой курицы 2 ноги, а у каждого кролика 4 ноги. Всего у них 52 ноги. Составим второе уравнение:
$2x + 4y = 52$

Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 20 \\ 2x + 4y = 52 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 20 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$2(20 - y) + 4y = 52$
$40 - 2y + 4y = 52$
$40 + 2y = 52$
$2y = 52 - 40$
$2y = 12$
$y = 6$

Таким образом, в хозяйстве 6 кроликов.

Теперь найдем количество кур, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 20 - 6$
$x = 14$

В хозяйстве 14 кур.

Проверка: $14$ кур $+ 6$ кроликов $= 20$ животных. Ноги: $14 \cdot 2 + 6 \cdot 4 = 28 + 24 = 52$ ноги. Условия задачи выполнены.

Ответ: в хозяйстве 14 кур и 6 кроликов.

Способ 2: Арифметический способ

Предположим, что все 20 животных на ферме — это куры. В этом случае у них было бы:
$20 \cdot 2 = 40$ ног.

По условию, ног всего 52. Найдем разницу между реальным количеством ног и нашим предположением:
$52 - 40 = 12$ ног.

Эта разница в 12 ног возникла из-за того, что среди животных есть кролики, у которых на $4 - 2 = 2$ ноги больше, чем у кур.

Чтобы найти количество кроликов, нужно общую разницу в ногах разделить на разницу в количестве ног между одним кроликом и одной курицей:
$12 / 2 = 6$ кроликов.

Итак, в хозяйстве 6 кроликов. Тогда количество кур составляет:
$20 - 6 = 14$ кур.

Ответ: в хозяйстве 14 кур и 6 кроликов.

1.120. График линейной функции параллелен оси абсцисс и проходит через точку $M(2;-3)$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс), а $b$ – это ордината точки пересечения графика с осью ординат.

По условию, график функции параллелен оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что прямая является горизонтальной. Угол наклона такой прямой к оси Ox равен 0, следовательно, ее угловой коэффициент $k$ также равен 0.

Подставим значение $k = 0$ в общую формулу линейной функции:

$y = 0 \cdot x + b$

$y = b$

Это уравнение означает, что для любого значения $x$ значение $y$ остается постоянным и равным $b$.

Также в условии сказано, что график проходит через точку $M(2; -3)$. Это означает, что когда абсцисса $x = 2$, ордината $y = -3$.

Так как для всех точек на данной прямой ордината постоянна, она должна быть равна ординате точки $M$, то есть $y = -3$. Отсюда следует, что $b = -3$.

Таким образом, искомая функция задается формулой $y = -3$.

Ответ: $y = -3$.