Номер 1.117, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. Упростите выражение:

1) $ \frac{\left(3^n + 3^{n-1}\right)^2}{9^{n-1}} $; 2) $ \frac{\left(5^n - 5^{n-1}\right)^3}{125^{n-1}} $; 3) $ \frac{4^{n-2}}{\left(2^{n-1} - 2^{n-2}\right)^2} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{(3^n + 3^{n-1})^2}{9^{n-1}} $.
Сначала упростим числитель. Вынесем общий множитель $3^{n-1}$ за скобки в выражении $3^n + 3^{n-1}$:
$3^n + 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 3^1 + 3^{n-1} \cdot 1 = 3^{n-1}(3 + 1) = 4 \cdot 3^{n-1}$.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(4 \cdot 3^{n-1})^2 = 4^2 \cdot (3^{n-1})^2 = 16 \cdot 3^{2(n-1)} = 16 \cdot 3^{2n-2}$.
Далее упростим знаменатель. Представим основание 9 как $3^2$:
$9^{n-1} = (3^2)^{n-1} = 3^{2(n-1)} = 3^{2n-2}$.
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}} $.
Сократим дробь на общий множитель $3^{2n-2}$ и получим результат.
$ \frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}} = 16 $.

Ответ: 16

2) Исходное выражение: $ \frac{(5^n - 5^{n-1})^3}{125^{n-1}} $.
Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся за скобки общий множитель $5^{n-1}$:
$5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1} \cdot 5^1 - 5^{n-1} \cdot 1 = 5^{n-1}(5 - 1) = 4 \cdot 5^{n-1}$.
Возведем полученное выражение в куб:
$(4 \cdot 5^{n-1})^3 = 4^3 \cdot (5^{n-1})^3 = 64 \cdot 5^{3(n-1)} = 64 \cdot 5^{3n-3}$.
Теперь упростим знаменатель. Представим основание 125 как $5^3$:
$125^{n-1} = (5^3)^{n-1} = 5^{3(n-1)} = 5^{3n-3}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$ \frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}} $.
Сократим дробь на $5^{3n-3}$ и получим конечный результат.
$ \frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}} = 64 $.

Ответ: 64

3) Исходное выражение: $ \frac{4^{n-2}}{(2^{n-1} - 2^{n-2})^2} $.
Упростим числитель, представив основание 4 как $2^2$:
$4^{n-2} = (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$.
Далее упростим знаменатель. Сначала преобразуем выражение в скобках, вынеся общий множитель $2^{n-2}$:
$2^{n-1} - 2^{n-2} = 2^{n-2} \cdot 2^1 - 2^{n-2} \cdot 1 = 2^{n-2}(2 - 1) = 2^{n-2}$.
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(2^{n-2})^2 = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2^{2n-4}}{2^{2n-4}} $.
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их частное равно 1.

Ответ: 1