Номер 1.114, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.114. Решите уравнение:

1) $5x^{-1} - 6 = 0$;

2) $3 + 10x^{-1} = 0$;

3) $(5-x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$.

1) $5x^{-1} - 6 = 0$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае $x^{-1} = \frac{1}{x}$. При этом область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Перепишем исходное уравнение:

$5 \cdot \frac{1}{x} - 6 = 0$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$\frac{5}{x} = 6$

Чтобы найти $x$, можно воспользоваться правилом пропорции или умножить обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$5 = 6x$

Разделим обе части на 6, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{5}{6}$

Полученное значение $x = \frac{5}{6}$ не равно нулю, следовательно, оно удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{5}{6}$.

2) $3 + 10x^{-1} = 0$

Аналогично первому пункту, заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$. ОДЗ: $x \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$3 + \frac{10}{x} = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$\frac{10}{x} = -3$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$10 = -3x$

Выразим $x$, разделив обе части на -3:

$x = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$

Данный корень не равен нулю и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

3) $(5 - x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$

Сначала преобразуем обе части уравнения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Левая часть уравнения: $(5 - x^{-1})^{-1} = \frac{1}{5 - x^{-1}}$.

Правая часть уравнения: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{5 - x^{-1}} = \frac{1}{4}$

Определим ОДЗ. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
1. Из выражения $x^{-1} = \frac{1}{x}$ следует, что $x \neq 0$.
2. Из знаменателя левой части $5 - x^{-1} \neq 0 \implies 5 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 5 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq \frac{1}{5}$.

Поскольку дроби равны и их числители равны (оба равны 1), их знаменатели также должны быть равны:

$5 - x^{-1} = 4$

Заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$:

$5 - \frac{1}{x} = 4$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$-\frac{1}{x} = 4 - 5$

$-\frac{1}{x} = -1$

Умножим обе части на -1:

$\frac{1}{x} = 1$

Отсюда следует, что $x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ условиям ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{5}$). Да, удовлетворяет. Следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = 1$.