Номер 1.115, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.115. Упростите выражение:

1) $\frac{\left(\frac{1}{25}\right)^{-n}}{5^{2n-1}};$

2) $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}};$

3) $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n};$

4) $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(\frac{1}{25})^{-n}}{5^{2n-1}}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$ и то, что $25 = 5^2$:
$(\frac{1}{25})^{-n} = (25)^n = (5^2)^n = 5^{2 \cdot n} = 5^{2n}$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{5^{2n}}{5^{2n-1}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):
$5^{2n - (2n-1)} = 5^{2n - 2n + 1} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

2) Исходное выражение: $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.
Разложим основание 12 в числителе на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Тогда $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):
$\frac{2^{2n}}{2^{2n-1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = 2^{2n - (2n-1)} \cdot 3^{n - (n+1)} = 2^{2n - 2n + 1} \cdot 3^{n - n - 1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.
Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Исходное выражение: $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.
Разложим основание 45 в числителе на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Тогда $45^{n+1} = (3^2 \cdot 5)^{n+1} = (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 3^{2(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{3^{2n+2}}{3^{2n+1}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 3^{(2n+2) - (2n+1)} \cdot 5^{(n+1) - n} = 3^{2n+2 - 2n - 1} \cdot 5^{n+1 - n} = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

4) Исходное выражение: $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.
Разложим основание 60 в числителе на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Тогда $60^n = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^n = (2^2)^n \cdot 3^n \cdot 5^n = 2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{2^{2n}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 2^{2n-2n} \cdot 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)} = 2^0 \cdot 3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^{-1}$.
Так как $2^0 = 1$ и $5^{-1} = \frac{1}{5}$, получаем:
$1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$