Номер 1.113, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.113. Представьте выражение в виде степени с основанием 10:

1) $100^n$;

2) $0,01 \cdot 100^{n+3}$;

3) $0,01^n : 10^{2-2n}$.

1) $100^n$
Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 10, сначала представим число 100 как степень 10: $100 = 10^2$.
Подставим это в исходное выражение: $100^n = (10^2)^n$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$

2) $0,01 \cdot 100^{n+3}$
Представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
$100 = 10^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $0,01 \cdot 100^{n+3} = 10^{-2} \cdot (10^2)^{n+3}$.
Сначала упростим второй множитель по свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь выражение имеет вид: $10^{-2} \cdot 10^{2n+6}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-2} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-2 + 2n + 6} = 10^{2n+4}$.
Ответ: $10^{2n+4}$

3) $0,01^n : 10^{2-2n}$
Знак ":" обозначает деление. Представим 0,01 в виде степени с основанием 10: $0,01 = 10^{-2}$.
Подставим это значение в исходное выражение: $0,01^n : 10^{2-2n} = (10^{-2})^n : 10^{2-2n}$.
Упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^{-2})^n = 10^{-2n}$.
Теперь выражение имеет вид: $10^{-2n} : 10^{2-2n}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя по свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$: $10^{-2n - (2-2n)} = 10^{-2n - 2 + 2n} = 10^{-2}$.
Ответ: $10^{-2}$