Номер 1.112, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112. Упростите выражение:

1) $(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4y^2}\right)^{-3};$ 3) $\left(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2}\right)^{-2} : (5m^2n^3k)^3;$

2) $\left(\frac{x^{-3}y^4}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{x^{-2}y^3}\right)^{-3};$ 4) $\left(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}}\right)^{-2} : \left(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4}\right)^3.$

$(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Сначала упростим каждый множитель по отдельности, используя свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.

Первый множитель: $(0,25a^{-4}y^{-3})^2$. Представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$.

$(\frac{1}{4}a^{-4}y^{-3})^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (a^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = \frac{1}{16} a^{-4 \cdot 2} y^{-3 \cdot 2} = \frac{1}{16} a^{-8} y^{-6}$.

Второй множитель: $(\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3}$.

$(\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{a^{-3}})^3 = \frac{(4y^2)^3}{(a^{-3})^3} = \frac{4^3 (y^2)^3}{a^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{a^{-9}} = 64a^9y^6$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{16} a^{-8} y^{-6}) \cdot (64a^9y^6) = \frac{1}{16} \cdot 64 \cdot a^{-8} \cdot a^9 \cdot y^{-6} \cdot y^6$.

Используем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\frac{64}{16} \cdot a^{-8+9} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot a^1 \cdot y^0 = 4a \cdot 1 = 4a$.

Ответ: $4a$.

$(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3}$

Упростим каждый множитель.

Первый множитель: $(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} = (\frac{9}{x^{-3}y^4})^2 = \frac{9^2}{(x^{-3}y^4)^2} = \frac{81}{(x^{-3})^2(y^4)^2} = \frac{81}{x^{-6}y^8} = 81x^6y^{-8}$.

Второй множитель: $(\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3} = (\frac{x^{-2}y^3}{3})^3 = \frac{(x^{-2}y^3)^3}{3^3} = \frac{(x^{-2})^3(y^3)^3}{27} = \frac{x^{-6}y^9}{27}$.

Перемножим результаты:

$(81x^6y^{-8}) \cdot (\frac{x^{-6}y^9}{27}) = \frac{81}{27} \cdot x^6 \cdot x^{-6} \cdot y^{-8} \cdot y^9$.

$3 \cdot x^{6-6} \cdot y^{-8+9} = 3 \cdot x^0 \cdot y^1 = 3 \cdot 1 \cdot y = 3y$.

Ответ: $3y$.

$(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} : (5m^2n^3k)^3$

Упростим делимое и делитель.

Делимое: $(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} = (\frac{10n^5k^2}{m^{-4}})^2 = \frac{(10n^5k^2)^2}{(m^{-4})^2} = \frac{10^2(n^5)^2(k^2)^2}{m^{-8}} = \frac{100n^{10}k^4}{m^{-8}} = 100m^8n^{10}k^4$.

Делитель: $(5m^2n^3k)^3 = 5^3(m^2)^3(n^3)^3k^3 = 125m^6n^9k^3$.

Выполним деление:

$\frac{100m^8n^{10}k^4}{125m^6n^9k^3} = \frac{100}{125} \cdot \frac{m^8}{m^6} \cdot \frac{n^{10}}{n^9} \cdot \frac{k^4}{k^3}$.

Используем свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ и сокращаем дробь $\frac{100}{125} = \frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{4}{5}$.

$\frac{4}{5} \cdot m^{8-6} \cdot n^{10-9} \cdot k^{4-3} = \frac{4}{5}m^2n^1k^1 = \frac{4}{5}m^2nk$.

Ответ: $\frac{4}{5}m^2nk$.

$(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} : (\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3$

Упростим делимое и делитель.

Делимое: $(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} = (\frac{a^3b^{-2}}{9c^5})^2 = \frac{(a^3b^{-2})^2}{(9c^5)^2} = \frac{(a^3)^2(b^{-2})^2}{9^2(c^5)^2} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}}$.

Делитель: $(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3 = \frac{(a^2b^{-3})^3}{(6c^4)^3} = \frac{(a^2)^3(b^{-3})^3}{6^3(c^4)^3} = \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} : \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} \cdot \frac{216c^{12}}{a^6b^{-9}}$.

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{216}{81} \cdot \frac{a^6}{a^6} \cdot \frac{b^{-4}}{b^{-9}} \cdot \frac{c^{12}}{c^{10}}$.

Сократим коэффициент $\frac{216}{81} = \frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени: $\frac{a^6}{a^6} = a^0 = 1$; $\frac{b^{-4}}{b^{-9}} = b^{-4-(-9)} = b^5$; $\frac{c^{12}}{c^{10}} = c^{12-10} = c^2$.

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot b^5 \cdot c^2 = \frac{8}{3}b^5c^2$.

Ответ: $\frac{8}{3}b^5c^2$.