Номер 1.111, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.111. Представьте выражение $a^{20}$, где $a \neq 0$, в виде степени с основанием:

1) $a^4$;

2) $a^{-5}$;

3) $\frac{1}{a^2}$;

4) $\frac{1}{a^{-4}}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Мы должны найти такой показатель степени $x$, чтобы для каждого заданного основания выполнялось равенство $(основание)^x = a^{20}$.

1) $a^4$

Необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство: $(a^4)^x = a^{20}$.
Согласно свойству степеней, $a^{4 \cdot x} = a^{20}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Следовательно, $a^{20} = (a^4)^5$.
Ответ: $(a^4)^5$.

2) $a^{-5}$

Необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство: $(a^{-5})^x = a^{20}$.
Согласно свойству степеней, $a^{-5 \cdot x} = a^{20}$.
Приравниваем показатели:
$-5x = 20$
$x = \frac{20}{-5}$
$x = -4$
Следовательно, $a^{20} = (a^{-5})^{-4}$.
Ответ: $(a^{-5})^{-4}$.

3) $\frac{1}{a^2}$

Сначала преобразуем основание, используя свойство степени с отрицательным показателем $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$:
$\frac{1}{a^2} = a^{-2}$
Теперь необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы $(a^{-2})^x = a^{20}$.
$a^{-2 \cdot x} = a^{20}$
Приравниваем показатели:
$-2x = 20$
$x = \frac{20}{-2}$
$x = -10$
Следовательно, $a^{20} = (\frac{1}{a^2})^{-10}$.
Ответ: $(\frac{1}{a^2})^{-10}$.

4) $\frac{1}{a^{-4}}$

Сначала преобразуем основание, используя свойство $\frac{1}{b^{-n}} = b^n$:
$\frac{1}{a^{-4}} = a^4$
Теперь необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы $(a^4)^x = a^{20}$.
Эта задача аналогична пункту 1).
$a^{4 \cdot x} = a^{20}$
$4x = 20$
$x = 5$
Следовательно, $a^{20} = (\frac{1}{a^{-4}})^5$.
Ответ: $(\frac{1}{a^{-4}})^5$.