Номер 1.109, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Представьте выражение в виде степени с основанием 3:

1) $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}$, $n \in Z$;

2) $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m$, $m \in Z$;

3) $81^m : 3^{4m-2}$, $m \in Z$;

4) $(-3)^{4n} : 27^n$, $n \in Z$.

1) Чтобы представить выражение $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}$ в виде степени с основанием 3, используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y \cdot a^z = a^{x+y+z}$. В данном случае показатели степеней складываются: $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n} = 3^{n + (n+1) + (1-n)}$. Упростим показатель степени: $n + n + 1 + 1 - n = n + 2$. В результате выражение равно $3^{n+2}$.
Ответ: $3^{n+2}$.

2) Рассмотрим выражение $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m$. Сначала применим свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ к каждому множителю. Для первого множителя: $(3^m)^2 = 3^{m \cdot 2} = 3^{2m}$. Для второго множителя: $(3^{-3})^m = 3^{-3 \cdot m} = 3^{-3m}$. Теперь перемножим полученные степени, используя правило $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$: $3^{2m} \cdot 3^{-3m} = 3^{2m + (-3m)} = 3^{2m - 3m} = 3^{-m}$.
Ответ: $3^{-m}$.

3) В выражении $81^m : 3^{4m-2}$ сначала представим число 81 как степень с основанием 3. Так как $81 = 3^4$, то $81^m = (3^4)^m = 3^{4m}$. Теперь выражение принимает вид $3^{4m} : 3^{4m-2}$. Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^x : a^y = a^{x-y}$. Вычитаем показатели: $3^{4m - (4m-2)} = 3^{4m-4m+2} = 3^2$.
Ответ: $3^2$.

4) Рассмотрим выражение $(-3)^{4n} : 27^n$. Так как $n \in Z$, показатель $4n$ всегда является четным числом. Для любого четного показателя степени $k$ выполняется равенство $(-a)^k = a^k$. Следовательно, $(-3)^{4n} = 3^{4n}$. Далее, представим число 27 как степень с основанием 3: $27=3^3$. Тогда $27^n = (3^3)^n = 3^{3n}$. Исходное выражение можно переписать в виде $3^{4n} : 3^{3n}$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^x : a^y = a^{x-y}$: $3^{4n - 3n} = 3^n$.
Ответ: $3^n$.