Номер 1.107, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.107. Сравните с нулем:

1) $(-0,001)^6$;

2) $(-\frac{1}{25})^{-3}$;

3) $(-5)^4$;

4) $(-2)^{-3}$.

1) Чтобы сравнить выражение $(-0,001)^6$ с нулем, определим знак результата. Основание степени $(-0,001)$ является отрицательным числом. Показатель степени $6$ является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен, так как произведение четного числа отрицательных сомножителей является положительным числом. Таким образом, $(-0,001)^6 > 0$.
Ответ: $(-0,001)^6 > 0$.

2) Рассмотрим выражение $(-\frac{1}{25})^{-3}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{1}{25})^{-3} = (-\frac{25}{1})^3 = (-25)^3$.
Теперь необходимо определить знак выражения $(-25)^3$. Основание степени $-25$ — отрицательное число, а показатель степени $3$ — нечетное число. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда отрицателен.
Следовательно, $(-25)^3 < 0$, а значит и $(-\frac{1}{25})^{-3} < 0$.
Ответ: $(-\frac{1}{25})^{-3} < 0$.

3) В выражении $(-5)^4$ основание степени $-5$ является отрицательным, а показатель степени $4$ — четным. Возведение отрицательного числа в четную степень всегда дает положительный результат.
$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$.
Поскольку $625 > 0$, то $(-5)^4 > 0$.
Ответ: $(-5)^4 > 0$.

4) Для выражения $(-2)^{-3}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.
Теперь определим знак знаменателя. В выражении $(-2)^3$ основание $-2$ отрицательное, а показатель $3$ нечетный. Результат возведения отрицательного числа в нечетную степень будет отрицательным: $(-2)^3 = -8$.
Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Это число меньше нуля, следовательно, $(-2)^{-3} < 0$.
Ответ: $(-2)^{-3} < 0$.