Номер 1.110, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110. При каком целом значении n равенство верно для любого $x \ne 0$:

1) $x^n \cdot x^6 = x^4$;

2) $x^3 : x^n = x^{-2}$;

3) $(x^{-3})^n \cdot x^3 = x^6$;

4) $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$?

Для решения данных уравнений необходимо использовать свойства степеней. Поскольку равенства должны быть верны для любого $x \neq 0$, мы можем приравнивать показатели степеней при одинаковых основаниях.

1) Дано равенство $x^n \cdot x^6 = x^4$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{n+6} = x^4$

Теперь приравняем показатели степеней:

$n + 6 = 4$

Решаем полученное уравнение:

$n = 4 - 6$

$n = -2$

Ответ: $n = -2$.

2) Дано равенство $x^3 : x^n = x^{-2}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{3-n} = x^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 - n = -2$

Решаем уравнение:

$-n = -2 - 3$

$-n = -5$

$n = 5$

Ответ: $n = 5$.

3) Дано равенство $(x^{-3})^n \cdot x^3 = x^6$.

Сначала используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

$(x^{-3})^n = x^{-3n}$

Теперь равенство выглядит так: $x^{-3n} \cdot x^3 = x^6$.

Далее используем свойство умножения степеней:

$x^{-3n + 3} = x^6$

Приравниваем показатели степеней:

$-3n + 3 = 6$

Решаем уравнение:

$-3n = 6 - 3$

$-3n = 3$

$n = \frac{3}{-3}$

$n = -1$

Ответ: $n = -1$.

4) Дано равенство $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{(-n) \cdot (-4)} = x^{-4}$

$x^{4n} = x^{-4}$

Приравниваем показатели степеней:

$4n = -4$

Решаем уравнение:

$n = \frac{-4}{4}$

$n = -1$

Ответ: $n = -1$.