Номер 1.116, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.116. Докажите равенство, где $n \in Z$ :

1) $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+2}$;

2) $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$;

3) $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$;

4) $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$.

1) Для доказательства равенства $3 \cdot 2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n+2}$ преобразуем его левую часть. Вынесем за скобки общий множитель $2^{2n}$:
$3 \cdot 2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n}(3 + 1) = 2^{2n} \cdot 4$.
Представим 4 в виде степени числа 2 ($4=2^2$) и воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$):
$2^{2n} \cdot 2^2 = 2^{2n+2}$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, $2^{2n+2} = 2^{2n+2}$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $2 \cdot 3^{n} + 3^{n} = 3^{n+1}$ преобразуем его левую часть. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$2 \cdot 3^{n} + 3^{n} = 3^n(2 + 1) = 3^n \cdot 3$.
Используя то, что $3 = 3^1$, и свойство умножения степеней ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), получаем:
$3^n \cdot 3^1 = 3^{n+1}$.
Левая часть равенства равна правой: $3^{n+1} = 3^{n+1}$.
Ответ: Равенство доказано.

3) Для доказательства равенства $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством частного степеней ($a^{m-k} = a^m \cdot a^{-k}$):
$2^{1-n} - 2^{-n} = 2^1 \cdot 2^{-n} - 2^{-n}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{-n}$:
$2^{-n}(2 - 1) = 2^{-n} \cdot 1 = 2^{-n}$.
Левая часть равенства равна правой: $2^{-n} = 2^{-n}$.
Ответ: Равенство доказано.

4) Для доказательства равенства $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством умножения степеней ($a^{m+k} = a^m \cdot a^k$):
$2^{-n} + 2^{-n+1} = 2^{-n} + 2^{-n} \cdot 2^1$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{-n}$:
$2^{-n}(1 + 2) = 2^{-n} \cdot 3 = 3 \cdot 2^{-n}$.
Левая часть равенства равна правой: $3 \cdot 2^{-n} = 3 \cdot 2^{-n}$.
Ответ: Равенство доказано.