Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Сравните:

1) $2^{-5}$ и $2^{-4}$;

2) $7^{-5}$ и $7^{-3}$;

3) $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$;

4) $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$;

5) $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$;

6) $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

1) Сравнить $2^{-5}$ и $2^{-4}$.

Способ 1: Сравнение показателей.

Мы сравниваем степени с одинаковым основанием $a=2$. Так как основание $a=2 > 1$, то степенная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение степени. Сравним показатели: $-5$ и $-4$. Поскольку $-5 < -4$, то и $2^{-5} < 2^{-4}$.

Способ 2: Вычисление значений.

Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{16}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $32 > 16$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{16}$.

Следовательно, $2^{-5} < 2^{-4}$.

Ответ: $2^{-5} < 2^{-4}$.

2) Сравнить $7^{-5}$ и $7^{-3}$.

Основание степени $a=7 > 1$, поэтому функция $y=7^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $-5$ и $-3$. Так как $-5 < -3$, то соответствующее неравенство для степеней будет таким же: $7^{-5} < 7^{-3}$.

Проверим вычислением: $7^{-5} = \frac{1}{7^5} = \frac{1}{16807}$ и $7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$.

Так как $16807 > 343$, то $\frac{1}{16807} < \frac{1}{343}$.

Ответ: $7^{-5} < 7^{-3}$.

3) Сравнить $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$.

Вычислим значения каждого выражения. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Сравниваем полученные значения: $-\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{27}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-\frac{1}{27} < \frac{1}{27}$.

Ответ: $(-3)^{-3} < 3^{-3}$.

4) Сравнить $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$.

Способ 1: Сравнение оснований.

Показатель степени $n=-3$ отрицательный. Для положительных оснований, при возведении в одну и ту же отрицательную степень, большему основанию соответствует меньшее значение. Сравним основания: $0,2 < 0,5$. Так как показатель степени отрицательный, знак неравенства для степеней меняется на противоположный: $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

Способ 2: Вычисление значений.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и вычислим:

$(0,2)^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.

$(0,5)^{-3} = (\frac{5}{10})^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.

Сравниваем результаты: $125 > 8$.

Ответ: $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

5) Сравнить $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$.

Основание степени $a=0,3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Для таких оснований степенная функция $y=(0,3)^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение степени. Сравним показатели: $-3$ и $-4$. Так как $-3 > -4$, то для степеней будет верным обратное неравенство: $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

Проверим вычислением: $(0,3)^{-3} = \frac{1}{(0,3)^3} = \frac{1}{0,027}$ и $(0,3)^{-4} = \frac{1}{(0,3)^4} = \frac{1}{0,0081}$.

Сравниваем знаменатели: $0,027 > 0,0081$. Так как числители дробей равны 1, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $\frac{1}{0,027} < \frac{1}{0,0081}$.

Ответ: $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

6) Сравнить $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

Вычислим значения выражений:

$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

$(-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2}$.

Так как показатель степени $2$ является четным числом, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным: $(-6)^2 = 36$.

Следовательно, $(-6)^{-2} = \frac{1}{36}$.

Оба выражения равны одному и тому же числу $\frac{1}{36}$, значит они равны между собой.

Ответ: $6^{-2} = (-6)^{-2}$.

1.109. Представьте выражение в виде степени с основанием 3:

1) $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}$, $n \in Z$;

2) $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m$, $m \in Z$;

3) $81^m : 3^{4m-2}$, $m \in Z$;

4) $(-3)^{4n} : 27^n$, $n \in Z$.

1) Чтобы представить выражение $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}$ в виде степени с основанием 3, используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y \cdot a^z = a^{x+y+z}$. В данном случае показатели степеней складываются: $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n} = 3^{n + (n+1) + (1-n)}$. Упростим показатель степени: $n + n + 1 + 1 - n = n + 2$. В результате выражение равно $3^{n+2}$.
Ответ: $3^{n+2}$.

2) Рассмотрим выражение $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m$. Сначала применим свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ к каждому множителю. Для первого множителя: $(3^m)^2 = 3^{m \cdot 2} = 3^{2m}$. Для второго множителя: $(3^{-3})^m = 3^{-3 \cdot m} = 3^{-3m}$. Теперь перемножим полученные степени, используя правило $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$: $3^{2m} \cdot 3^{-3m} = 3^{2m + (-3m)} = 3^{2m - 3m} = 3^{-m}$.
Ответ: $3^{-m}$.

3) В выражении $81^m : 3^{4m-2}$ сначала представим число 81 как степень с основанием 3. Так как $81 = 3^4$, то $81^m = (3^4)^m = 3^{4m}$. Теперь выражение принимает вид $3^{4m} : 3^{4m-2}$. Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^x : a^y = a^{x-y}$. Вычитаем показатели: $3^{4m - (4m-2)} = 3^{4m-4m+2} = 3^2$.
Ответ: $3^2$.

4) Рассмотрим выражение $(-3)^{4n} : 27^n$. Так как $n \in Z$, показатель $4n$ всегда является четным числом. Для любого четного показателя степени $k$ выполняется равенство $(-a)^k = a^k$. Следовательно, $(-3)^{4n} = 3^{4n}$. Далее, представим число 27 как степень с основанием 3: $27=3^3$. Тогда $27^n = (3^3)^n = 3^{3n}$. Исходное выражение можно переписать в виде $3^{4n} : 3^{3n}$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^x : a^y = a^{x-y}$: $3^{4n - 3n} = 3^n$.
Ответ: $3^n$.

1.110. При каком целом значении n равенство верно для любого $x \ne 0$:

1) $x^n \cdot x^6 = x^4$;

2) $x^3 : x^n = x^{-2}$;

3) $(x^{-3})^n \cdot x^3 = x^6$;

4) $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$?

Для решения данных уравнений необходимо использовать свойства степеней. Поскольку равенства должны быть верны для любого $x \neq 0$, мы можем приравнивать показатели степеней при одинаковых основаниях.

1) Дано равенство $x^n \cdot x^6 = x^4$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{n+6} = x^4$

Теперь приравняем показатели степеней:

$n + 6 = 4$

Решаем полученное уравнение:

$n = 4 - 6$

$n = -2$

Ответ: $n = -2$.

2) Дано равенство $x^3 : x^n = x^{-2}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{3-n} = x^{-2}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 - n = -2$

Решаем уравнение:

$-n = -2 - 3$

$-n = -5$

$n = 5$

Ответ: $n = 5$.

3) Дано равенство $(x^{-3})^n \cdot x^3 = x^6$.

Сначала используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

$(x^{-3})^n = x^{-3n}$

Теперь равенство выглядит так: $x^{-3n} \cdot x^3 = x^6$.

Далее используем свойство умножения степеней:

$x^{-3n + 3} = x^6$

Приравниваем показатели степеней:

$-3n + 3 = 6$

Решаем уравнение:

$-3n = 6 - 3$

$-3n = 3$

$n = \frac{3}{-3}$

$n = -1$

Ответ: $n = -1$.

4) Дано равенство $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Применяя это свойство к левой части равенства, получаем:

$x^{(-n) \cdot (-4)} = x^{-4}$

$x^{4n} = x^{-4}$

Приравниваем показатели степеней:

$4n = -4$

Решаем уравнение:

$n = \frac{-4}{4}$

$n = -1$

Ответ: $n = -1$.

1.111. Представьте выражение $a^{20}$, где $a \neq 0$, в виде степени с основанием:

1) $a^4$;

2) $a^{-5}$;

3) $\frac{1}{a^2}$;

4) $\frac{1}{a^{-4}}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Мы должны найти такой показатель степени $x$, чтобы для каждого заданного основания выполнялось равенство $(основание)^x = a^{20}$.

1) $a^4$

Необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство: $(a^4)^x = a^{20}$.
Согласно свойству степеней, $a^{4 \cdot x} = a^{20}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Следовательно, $a^{20} = (a^4)^5$.
Ответ: $(a^4)^5$.

2) $a^{-5}$

Необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство: $(a^{-5})^x = a^{20}$.
Согласно свойству степеней, $a^{-5 \cdot x} = a^{20}$.
Приравниваем показатели:
$-5x = 20$
$x = \frac{20}{-5}$
$x = -4$
Следовательно, $a^{20} = (a^{-5})^{-4}$.
Ответ: $(a^{-5})^{-4}$.

3) $\frac{1}{a^2}$

Сначала преобразуем основание, используя свойство степени с отрицательным показателем $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$:
$\frac{1}{a^2} = a^{-2}$
Теперь необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы $(a^{-2})^x = a^{20}$.
$a^{-2 \cdot x} = a^{20}$
Приравниваем показатели:
$-2x = 20$
$x = \frac{20}{-2}$
$x = -10$
Следовательно, $a^{20} = (\frac{1}{a^2})^{-10}$.
Ответ: $(\frac{1}{a^2})^{-10}$.

4) $\frac{1}{a^{-4}}$

Сначала преобразуем основание, используя свойство $\frac{1}{b^{-n}} = b^n$:
$\frac{1}{a^{-4}} = a^4$
Теперь необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы $(a^4)^x = a^{20}$.
Эта задача аналогична пункту 1).
$a^{4 \cdot x} = a^{20}$
$4x = 20$
$x = 5$
Следовательно, $a^{20} = (\frac{1}{a^{-4}})^5$.
Ответ: $(\frac{1}{a^{-4}})^5$.

1.112. Упростите выражение:

1) $(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4y^2}\right)^{-3};$ 3) $\left(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2}\right)^{-2} : (5m^2n^3k)^3;$

2) $\left(\frac{x^{-3}y^4}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{x^{-2}y^3}\right)^{-3};$ 4) $\left(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}}\right)^{-2} : \left(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4}\right)^3.$

$(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Сначала упростим каждый множитель по отдельности, используя свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.

Первый множитель: $(0,25a^{-4}y^{-3})^2$. Представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$.

$(\frac{1}{4}a^{-4}y^{-3})^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (a^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = \frac{1}{16} a^{-4 \cdot 2} y^{-3 \cdot 2} = \frac{1}{16} a^{-8} y^{-6}$.

Второй множитель: $(\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3}$.

$(\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{a^{-3}})^3 = \frac{(4y^2)^3}{(a^{-3})^3} = \frac{4^3 (y^2)^3}{a^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{a^{-9}} = 64a^9y^6$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{16} a^{-8} y^{-6}) \cdot (64a^9y^6) = \frac{1}{16} \cdot 64 \cdot a^{-8} \cdot a^9 \cdot y^{-6} \cdot y^6$.

Используем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\frac{64}{16} \cdot a^{-8+9} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot a^1 \cdot y^0 = 4a \cdot 1 = 4a$.

Ответ: $4a$.

$(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3}$

Упростим каждый множитель.

Первый множитель: $(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} = (\frac{9}{x^{-3}y^4})^2 = \frac{9^2}{(x^{-3}y^4)^2} = \frac{81}{(x^{-3})^2(y^4)^2} = \frac{81}{x^{-6}y^8} = 81x^6y^{-8}$.

Второй множитель: $(\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3} = (\frac{x^{-2}y^3}{3})^3 = \frac{(x^{-2}y^3)^3}{3^3} = \frac{(x^{-2})^3(y^3)^3}{27} = \frac{x^{-6}y^9}{27}$.

Перемножим результаты:

$(81x^6y^{-8}) \cdot (\frac{x^{-6}y^9}{27}) = \frac{81}{27} \cdot x^6 \cdot x^{-6} \cdot y^{-8} \cdot y^9$.

$3 \cdot x^{6-6} \cdot y^{-8+9} = 3 \cdot x^0 \cdot y^1 = 3 \cdot 1 \cdot y = 3y$.

Ответ: $3y$.

$(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} : (5m^2n^3k)^3$

Упростим делимое и делитель.

Делимое: $(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} = (\frac{10n^5k^2}{m^{-4}})^2 = \frac{(10n^5k^2)^2}{(m^{-4})^2} = \frac{10^2(n^5)^2(k^2)^2}{m^{-8}} = \frac{100n^{10}k^4}{m^{-8}} = 100m^8n^{10}k^4$.

Делитель: $(5m^2n^3k)^3 = 5^3(m^2)^3(n^3)^3k^3 = 125m^6n^9k^3$.

Выполним деление:

$\frac{100m^8n^{10}k^4}{125m^6n^9k^3} = \frac{100}{125} \cdot \frac{m^8}{m^6} \cdot \frac{n^{10}}{n^9} \cdot \frac{k^4}{k^3}$.

Используем свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ и сокращаем дробь $\frac{100}{125} = \frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{4}{5}$.

$\frac{4}{5} \cdot m^{8-6} \cdot n^{10-9} \cdot k^{4-3} = \frac{4}{5}m^2n^1k^1 = \frac{4}{5}m^2nk$.

Ответ: $\frac{4}{5}m^2nk$.

$(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} : (\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3$

Упростим делимое и делитель.

Делимое: $(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} = (\frac{a^3b^{-2}}{9c^5})^2 = \frac{(a^3b^{-2})^2}{(9c^5)^2} = \frac{(a^3)^2(b^{-2})^2}{9^2(c^5)^2} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}}$.

Делитель: $(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3 = \frac{(a^2b^{-3})^3}{(6c^4)^3} = \frac{(a^2)^3(b^{-3})^3}{6^3(c^4)^3} = \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} : \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} \cdot \frac{216c^{12}}{a^6b^{-9}}$.

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{216}{81} \cdot \frac{a^6}{a^6} \cdot \frac{b^{-4}}{b^{-9}} \cdot \frac{c^{12}}{c^{10}}$.

Сократим коэффициент $\frac{216}{81} = \frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени: $\frac{a^6}{a^6} = a^0 = 1$; $\frac{b^{-4}}{b^{-9}} = b^{-4-(-9)} = b^5$; $\frac{c^{12}}{c^{10}} = c^{12-10} = c^2$.

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot b^5 \cdot c^2 = \frac{8}{3}b^5c^2$.

Ответ: $\frac{8}{3}b^5c^2$.

1.113. Представьте выражение в виде степени с основанием 10:

1) $100^n$;

2) $0,01 \cdot 100^{n+3}$;

3) $0,01^n : 10^{2-2n}$.

1) $100^n$
Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 10, сначала представим число 100 как степень 10: $100 = 10^2$.
Подставим это в исходное выражение: $100^n = (10^2)^n$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$

2) $0,01 \cdot 100^{n+3}$
Представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
$100 = 10^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $0,01 \cdot 100^{n+3} = 10^{-2} \cdot (10^2)^{n+3}$.
Сначала упростим второй множитель по свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь выражение имеет вид: $10^{-2} \cdot 10^{2n+6}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-2} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-2 + 2n + 6} = 10^{2n+4}$.
Ответ: $10^{2n+4}$

3) $0,01^n : 10^{2-2n}$
Знак ":" обозначает деление. Представим 0,01 в виде степени с основанием 10: $0,01 = 10^{-2}$.
Подставим это значение в исходное выражение: $0,01^n : 10^{2-2n} = (10^{-2})^n : 10^{2-2n}$.
Упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^{-2})^n = 10^{-2n}$.
Теперь выражение имеет вид: $10^{-2n} : 10^{2-2n}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя по свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$: $10^{-2n - (2-2n)} = 10^{-2n - 2 + 2n} = 10^{-2}$.
Ответ: $10^{-2}$

1.114. Решите уравнение:

1) $5x^{-1} - 6 = 0$;

2) $3 + 10x^{-1} = 0$;

3) $(5-x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$.

1) $5x^{-1} - 6 = 0$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае $x^{-1} = \frac{1}{x}$. При этом область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Перепишем исходное уравнение:

$5 \cdot \frac{1}{x} - 6 = 0$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$\frac{5}{x} = 6$

Чтобы найти $x$, можно воспользоваться правилом пропорции или умножить обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$5 = 6x$

Разделим обе части на 6, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{5}{6}$

Полученное значение $x = \frac{5}{6}$ не равно нулю, следовательно, оно удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{5}{6}$.

2) $3 + 10x^{-1} = 0$

Аналогично первому пункту, заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$. ОДЗ: $x \neq 0$.

Уравнение примет вид:

$3 + \frac{10}{x} = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$\frac{10}{x} = -3$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$10 = -3x$

Выразим $x$, разделив обе части на -3:

$x = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$

Данный корень не равен нулю и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

3) $(5 - x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$

Сначала преобразуем обе части уравнения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Левая часть уравнения: $(5 - x^{-1})^{-1} = \frac{1}{5 - x^{-1}}$.

Правая часть уравнения: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{5 - x^{-1}} = \frac{1}{4}$

Определим ОДЗ. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
1. Из выражения $x^{-1} = \frac{1}{x}$ следует, что $x \neq 0$.
2. Из знаменателя левой части $5 - x^{-1} \neq 0 \implies 5 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 5 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq \frac{1}{5}$.

Поскольку дроби равны и их числители равны (оба равны 1), их знаменатели также должны быть равны:

$5 - x^{-1} = 4$

Заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$:

$5 - \frac{1}{x} = 4$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$-\frac{1}{x} = 4 - 5$

$-\frac{1}{x} = -1$

Умножим обе части на -1:

$\frac{1}{x} = 1$

Отсюда следует, что $x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ условиям ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{5}$). Да, удовлетворяет. Следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = 1$.

1.115. Упростите выражение:

1) $\frac{\left(\frac{1}{25}\right)^{-n}}{5^{2n-1}};$

2) $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}};$

3) $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n};$

4) $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(\frac{1}{25})^{-n}}{5^{2n-1}}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$ и то, что $25 = 5^2$:
$(\frac{1}{25})^{-n} = (25)^n = (5^2)^n = 5^{2 \cdot n} = 5^{2n}$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{5^{2n}}{5^{2n-1}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):
$5^{2n - (2n-1)} = 5^{2n - 2n + 1} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

2) Исходное выражение: $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.
Разложим основание 12 в числителе на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Тогда $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):
$\frac{2^{2n}}{2^{2n-1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = 2^{2n - (2n-1)} \cdot 3^{n - (n+1)} = 2^{2n - 2n + 1} \cdot 3^{n - n - 1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.
Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Исходное выражение: $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.
Разложим основание 45 в числителе на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Тогда $45^{n+1} = (3^2 \cdot 5)^{n+1} = (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 3^{2(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{3^{2n+2}}{3^{2n+1}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 3^{(2n+2) - (2n+1)} \cdot 5^{(n+1) - n} = 3^{2n+2 - 2n - 1} \cdot 5^{n+1 - n} = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

4) Исходное выражение: $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.
Разложим основание 60 в числителе на простые множители: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Тогда $60^n = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^n = (2^2)^n \cdot 3^n \cdot 5^n = 2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{2^{2n}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 2^{2n-2n} \cdot 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)} = 2^0 \cdot 3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^{-1}$.
Так как $2^0 = 1$ и $5^{-1} = \frac{1}{5}$, получаем:
$1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

1.116. Докажите равенство, где $n \in Z$ :

1) $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+2}$;

2) $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$;

3) $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$;

4) $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$.

1) Для доказательства равенства $3 \cdot 2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n+2}$ преобразуем его левую часть. Вынесем за скобки общий множитель $2^{2n}$:
$3 \cdot 2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n}(3 + 1) = 2^{2n} \cdot 4$.
Представим 4 в виде степени числа 2 ($4=2^2$) и воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$):
$2^{2n} \cdot 2^2 = 2^{2n+2}$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, $2^{2n+2} = 2^{2n+2}$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $2 \cdot 3^{n} + 3^{n} = 3^{n+1}$ преобразуем его левую часть. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:
$2 \cdot 3^{n} + 3^{n} = 3^n(2 + 1) = 3^n \cdot 3$.
Используя то, что $3 = 3^1$, и свойство умножения степеней ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), получаем:
$3^n \cdot 3^1 = 3^{n+1}$.
Левая часть равенства равна правой: $3^{n+1} = 3^{n+1}$.
Ответ: Равенство доказано.

3) Для доказательства равенства $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством частного степеней ($a^{m-k} = a^m \cdot a^{-k}$):
$2^{1-n} - 2^{-n} = 2^1 \cdot 2^{-n} - 2^{-n}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{-n}$:
$2^{-n}(2 - 1) = 2^{-n} \cdot 1 = 2^{-n}$.
Левая часть равенства равна правой: $2^{-n} = 2^{-n}$.
Ответ: Равенство доказано.

4) Для доказательства равенства $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойством умножения степеней ($a^{m+k} = a^m \cdot a^k$):
$2^{-n} + 2^{-n+1} = 2^{-n} + 2^{-n} \cdot 2^1$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{-n}$:
$2^{-n}(1 + 2) = 2^{-n} \cdot 3 = 3 \cdot 2^{-n}$.
Левая часть равенства равна правой: $3 \cdot 2^{-n} = 3 \cdot 2^{-n}$.
Ответ: Равенство доказано.