Номер 1.108, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Сравните:

1) $2^{-5}$ и $2^{-4}$;

2) $7^{-5}$ и $7^{-3}$;

3) $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$;

4) $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$;

5) $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$;

6) $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

1) Сравнить $2^{-5}$ и $2^{-4}$.

Способ 1: Сравнение показателей.

Мы сравниваем степени с одинаковым основанием $a=2$. Так как основание $a=2 > 1$, то степенная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение степени. Сравним показатели: $-5$ и $-4$. Поскольку $-5 < -4$, то и $2^{-5} < 2^{-4}$.

Способ 2: Вычисление значений.

Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{16}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $32 > 16$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{16}$.

Следовательно, $2^{-5} < 2^{-4}$.

Ответ: $2^{-5} < 2^{-4}$.

2) Сравнить $7^{-5}$ и $7^{-3}$.

Основание степени $a=7 > 1$, поэтому функция $y=7^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $-5$ и $-3$. Так как $-5 < -3$, то соответствующее неравенство для степеней будет таким же: $7^{-5} < 7^{-3}$.

Проверим вычислением: $7^{-5} = \frac{1}{7^5} = \frac{1}{16807}$ и $7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$.

Так как $16807 > 343$, то $\frac{1}{16807} < \frac{1}{343}$.

Ответ: $7^{-5} < 7^{-3}$.

3) Сравнить $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$.

Вычислим значения каждого выражения. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Сравниваем полученные значения: $-\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{27}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-\frac{1}{27} < \frac{1}{27}$.

Ответ: $(-3)^{-3} < 3^{-3}$.

4) Сравнить $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$.

Способ 1: Сравнение оснований.

Показатель степени $n=-3$ отрицательный. Для положительных оснований, при возведении в одну и ту же отрицательную степень, большему основанию соответствует меньшее значение. Сравним основания: $0,2 < 0,5$. Так как показатель степени отрицательный, знак неравенства для степеней меняется на противоположный: $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

Способ 2: Вычисление значений.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и вычислим:

$(0,2)^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.

$(0,5)^{-3} = (\frac{5}{10})^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.

Сравниваем результаты: $125 > 8$.

Ответ: $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

5) Сравнить $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$.

Основание степени $a=0,3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Для таких оснований степенная функция $y=(0,3)^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение степени. Сравним показатели: $-3$ и $-4$. Так как $-3 > -4$, то для степеней будет верным обратное неравенство: $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

Проверим вычислением: $(0,3)^{-3} = \frac{1}{(0,3)^3} = \frac{1}{0,027}$ и $(0,3)^{-4} = \frac{1}{(0,3)^4} = \frac{1}{0,0081}$.

Сравниваем знаменатели: $0,027 > 0,0081$. Так как числители дробей равны 1, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $\frac{1}{0,027} < \frac{1}{0,0081}$.

Ответ: $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

6) Сравнить $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

Вычислим значения выражений:

$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

$(-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2}$.

Так как показатель степени $2$ является четным числом, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным: $(-6)^2 = 36$.

Следовательно, $(-6)^{-2} = \frac{1}{36}$.

Оба выражения равны одному и тому же числу $\frac{1}{36}$, значит они равны между собой.

Ответ: $6^{-2} = (-6)^{-2}$.