Номер 1.102, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.102. Представьте степень в виде произведения:

1) $(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2}$;

2) $(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2}$;

3) $(0,25m^{-2}n^2)^{-3}$;

4) $(a^3 \cdot b^{-1})^2$;

5) $(-3p^3 \cdot q^{-1})^2$;

6) $(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3$.

1) Для того чтобы представить степень в виде произведения, необходимо воспользоваться свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим эти свойства к выражению $(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2}$:
$(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2} = (x^{-1})^{-2} \cdot (y^{-2})^{-2} = x^{-1 \cdot (-2)} \cdot y^{-2 \cdot (-2)} = x^2 \cdot y^4$.
Ответ: $x^2y^4$.

2) Для выражения $(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2}$ применим те же свойства. Каждый множитель в скобках возводим в степень $-2$:
$(\frac{1}{2}a^{-3}b^3)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$.
Теперь вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1) \cdot (-2)} = 2^2 = 4$.
$(a^{-3})^{-2} = a^{-3 \cdot (-2)} = a^6$.
$(b^3)^{-2} = b^{3 \cdot (-2)} = b^{-6}$.
Объединяя полученные результаты, получаем произведение: $4a^6b^{-6}$.
Ответ: $4a^6b^{-6}$.

3) Для выражения $(0,25m^{-2}n^2)^{-3}$ сначала представим десятичную дробь 0,25 в виде степени. $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Тогда выражение примет вид $((2^{-2})m^{-2}n^2)^{-3}$.
Возведем каждый множитель в степень $-3$:
$(2^{-2})^{-3} \cdot (m^{-2})^{-3} \cdot (n^2)^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} \cdot m^{(-2) \cdot (-3)} \cdot n^{2 \cdot (-3)} = 2^6 \cdot m^6 \cdot n^{-6}$.
Так как $2^6 = 64$, итоговое произведение равно $64m^6n^{-6}$.
Ответ: $64m^6n^{-6}$.

4) Для выражения $(a^3 \cdot b^{-1})^2$ применим свойство возведения произведения в степень:
$(a^3 \cdot b^{-1})^2 = (a^3)^2 \cdot (b^{-1})^2$.
Далее используем свойство возведения степени в степень:
$a^{3 \cdot 2} \cdot b^{-1 \cdot 2} = a^6b^{-2}$.
Ответ: $a^6b^{-2}$.

5) В выражении $(-3p^3 \cdot q^{-1})^2$ возведем в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках:
$(-3p^3 \cdot q^{-1})^2 = (-3)^2 \cdot (p^3)^2 \cdot (q^{-1})^2$.
Выполним вычисления для каждого множителя:
$(-3)^2 = 9$.
$(p^3)^2 = p^{3 \cdot 2} = p^6$.
$(q^{-1})^2 = q^{-1 \cdot 2} = q^{-2}$.
Результатом будет произведение $9p^6q^{-2}$.
Ответ: $9p^6q^{-2}$.

6) Для выражения $(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3$ возведем в куб каждый множитель в скобках:
$(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^2)^3$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
$(x^{-3})^3 = x^{-3 \cdot 3} = x^{-9}$.
$(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
Объединив все части, получим произведение $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.
Ответ: $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.