Номер 1.106, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Докажите равенство $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $, где $ a \neq 0, b \neq 0 $.

Для доказательства равенства $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо преобразовать левую часть выражения, используя свойства степеней. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все дроби в выражении определены.

1. Начнем с левой части равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

2. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$ для любого ненулевого $x$. В данном случае $x = \frac{a}{b}$ и показатель степени равен $-n$.

Применяя это свойство, получаем:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$

3. Далее используем свойство возведения дроби в степень: $(\frac{p}{q})^k = \frac{p^k}{q^k}$. Применим его к знаменателю:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Подставим это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$

4. Мы получили многоэтажную дробь. Чтобы ее упростить, нужно единицу разделить на дробь $\frac{a^n}{b^n}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$

5. Наконец, используем свойство возведения дроби в степень в обратном порядке: $\frac{p^k}{q^k} = (\frac{p}{q})^k$.

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, мы последовательно преобразовали левую часть исходного равенства и получили в точности его правую часть.

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$

Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказывается путем последовательного применения определения степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = 1/x^n$) и свойства возведения дроби в степень ($(p/q)^n = p^n/q^n$), что приводит левую часть выражения к виду правой части.