Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение степени с отрицательным показателем.

2. Сформулируйте свойства 1) –5). Приведите соответствующие примеры.

3. Как можно перевести число (выражение) со знаменателя дроби в ее числитель? Приведите пример.

4. Как можно перевести число (выражение) с числителя дроби в ее знаменатель? Приведите пример.

5. Может ли основание степени с нулевым показателем равняться нулю?

6. Каким будет знак показателя степени выражения:

1) $(a^{-2})^{-3}$; 2) $a^{-5} \cdot (a^{-3})^2$, если его записать в виде степени с основанием $a$?

Понятие степени с отрицательным показателем ввел Николай Шюке в XII веке. До этого английский математик Джон Валлис высказывал об уместности рассмотрения степеней с отрицательными показателями. А И. Ньютон начал систематически использовать это понятие. В 1676 году в одном из своих писем он написал следующее: «Как алгебраисты вместо AA, AAA и т.д. пишут $A^2, A^3$ и т.д., так я вместо $\frac{1}{a}, \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a^3}$ и т.д. пишу $a^{-1}, a^{-2}, a^{-3}$ и т.д.».

1. Степенью числа a, не равного нулю, с отрицательным целым показателем -n называется число, обратное степени этого числа a с натуральным показателем n.

Формула определения: для любого $a \ne 0$ и целого $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Например, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: Степень числа $a \ne 0$ с отрицательным показателем $-n$ есть $\frac{1}{a^n}$.

2. Свойства степени с целым показателем (для любых $a \ne 0$, $b \ne 0$ и любых целых $p$ и $q$):

1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Пример: $7^{-3} \cdot 7^5 = 7^{-3+5} = 7^2 = 49$.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя: $a^p : a^q = a^{p-q}$.

Пример: $4^2 : 4^4 = 4^{2-4} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.

3) Возведение степени в степень. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^p)^q = a^{pq}$.

Пример: $(3^{-2})^{-1} = 3^{(-2) \cdot (-1)} = 3^2 = 9$.

4) Возведение в степень произведения. Чтобы возвести в степень произведение, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить: $(ab)^p = a^p b^p$.

Пример: $(2x)^{-3} = 2^{-3} \cdot x^{-3} = \frac{1}{8}x^{-3} = \frac{1}{8x^3}$.

5) Возведение в степень дроби. Чтобы возвести в степень дробь, нужно ее числитель и знаменатель возвести в эту же степень: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

Пример: $(\frac{2}{5})^{-3} = \frac{2^{-3}}{5^{-3}} = \frac{1/2^3}{1/5^3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Ответ: Свойства: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$; $a^p : a^q = a^{p-q}$; $(a^p)^q = a^{pq}$; $(ab)^p = a^p b^p$; $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$. Примеры приведены выше.

3. Чтобы перевести число (выражение) из знаменателя дроби в ее числитель, нужно показатель его степени заменить на противоположный. Это следует из определения степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Пример: Выражение $\frac{x}{y^4}$ можно записать как $x \cdot y^{-4}$.

Ответ: Чтобы перенести множитель из знаменателя в числитель, нужно изменить знак его показателя степени, например, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

4. Чтобы перевести число (выражение) из числителя дроби в ее знаменатель, нужно, как и в предыдущем случае, заменить показатель его степени на противоположный. Это следует из тождества $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

Пример: Выражение $c^{-5}$ можно записать как $\frac{1}{c^5}$. Дробь $\frac{x^2}{y}$ можно представить в виде $\frac{1}{x^{-2}y}$.

Ответ: Чтобы перенести множитель из числителя в знаменатель, нужно изменить знак его показателя степени, например, $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

5. Нет, основание степени с нулевым показателем не может равняться нулю. Выражение $a^0$ определено для любого числа $a$, кроме $a=0$. Это связано с тем, что свойство $a^0=1$ выводится из правила деления степеней: $a^n:a^n = a^{n-n} = a^0$. С другой стороны, $a^n:a^n = 1$. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $a^n \neq 0$, а значит $a \neq 0$. Выражение $0^0$ в алгебре считается неопределенным.

Ответ: Нет, не может.

6. Для определения знака показателя степени необходимо упростить выражения, используя свойства степеней.

1) $(a^{-2})^{-3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$:

$(a^{-2})^{-3} = a^{(-2) \cdot (-3)} = a^6$

Показатель степени равен 6. Знак показателя — положительный (+).

2) $a^{-5} \cdot (a^{-3})^2$

Сначала упростим второй множитель: $(a^{-3})^2 = a^{(-3) \cdot 2} = a^{-6}$.

Теперь перемножим степени: $a^{-5} \cdot a^{-6}$. Используем свойство умножения степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$a^{-5} \cdot a^{-6} = a^{-5 + (-6)} = a^{-11}$

Показатель степени равен -11. Знак показателя — отрицательный (-).

Ответ: 1) положительный; 2) отрицательный.

1.97. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1) $3^{-3}$;

2) $2^{-3}$;

3) $5^{-2}$;

4) $a^{-2}$;

5) $b^{-10}$;

6) $x^{-7}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать определение степени с целым отрицательным показателем. Это определение гласит, что для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ выполняется равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это означает, что выражение со степенью с отрицательным показателем можно заменить дробью, в числителе которой находится единица, а в знаменателе — то же основание, но с противоположным (положительным) показателем. Применим это правило к каждому из заданий.

1) Для выражения $3^{-3}$, основание $a=3$ и показатель степени $n=3$. Применяя правило, получаем:
$3^{-3} = \frac{1}{3^3}$
Теперь вычислим значение знаменателя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, искомая дробь: $\frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$

2) Для выражения $2^{-3}$, основание $a=2$ и показатель $n=3$. По аналогии с предыдущим пунктом:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$
Вычисляем знаменатель: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Следовательно, искомая дробь: $\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

3) Для выражения $5^{-2}$, основание $a=5$ и показатель $n=2$.
$5^{-2} = \frac{1}{5^2}$
Вычисляем знаменатель: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Следовательно, искомая дробь: $\frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

4) Для выражения $a^{-2}$, основание представлено переменной $a$, а показатель равен $n=2$. Применяем общее правило (подразумевается, что $a \neq 0$):
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
Ответ: $\frac{1}{a^2}$

5) Для выражения $b^{-10}$, основание — переменная $b$, а показатель $n=10$. Применяем общее правило (подразумевается, что $b \neq 0$):
$b^{-10} = \frac{1}{b^{10}}$
Ответ: $\frac{1}{b^{10}}$

6) Для выражения $x^{-7}$, основание — переменная $x$, а показатель $n=7$. Применяем общее правило (подразумевается, что $x \neq 0$):
$x^{-7} = \frac{1}{x^7}$
Ответ: $\frac{1}{x^7}$

1.98. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

1) $\frac{1}{2^6}$;

2) $\frac{1}{3^5}$;

3) $\frac{1}{10^3}$;

4) $\frac{1}{x^4}$;

5) $\frac{1}{a^9}$;

6) $\frac{1}{625}$.

1) Чтобы заменить дробь $\frac{1}{2^6}$ степенью с целым отрицательным показателем, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатель $n=6$.

Применив это правило, получаем:

$\frac{1}{2^6} = 2^{-6}$

Ответ: $2^{-6}$

2) Для дроби $\frac{1}{3^5}$ используем то же свойство: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Здесь основание $a=3$, а показатель $n=5$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{1}{3^5} = 3^{-5}$

Ответ: $3^{-5}$

3) Аналогично для дроби $\frac{1}{10^3}$ применяем правило $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. В этом выражении основание $a=10$, а показатель $n=3$.

Следовательно:

$\frac{1}{10^3} = 10^{-3}$

Ответ: $10^{-3}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{1}{x^4}$. Используем свойство $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Здесь основанием является переменная $a=x$, а показатель $n=4$.

Получаем следующее выражение:

$\frac{1}{x^4} = x^{-4}$

Ответ: $x^{-4}$

5) Для дроби $\frac{1}{a^9}$ воспользуемся тем же правилом: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. В данном случае основание — переменная $a$, а показатель $n=9$.

Применяя правило, получаем:

$\frac{1}{a^9} = a^{-9}$

Ответ: $a^{-9}$

6) Чтобы представить дробь $\frac{1}{625}$ в виде степени с отрицательным показателем, сначала нужно представить знаменатель 625 в виде степени с некоторым основанием.

Заметим, что $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Теперь дробь можно записать как $\frac{1}{5^4}$.

Используем свойство $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, где $a=5$ и $n=4$.

Получаем:

$\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$

Ответ: $5^{-4}$

1.99. Представьте в виде дроби выражение:

1) $3x^{-5}$;

2) $5xy^{-2}$;

3) $a^{-1}b$;

4) $m^{-2} \cdot n^{-3}$;

5) $a^{-3} \cdot b^2$;

6) $5(xy)^{-2}$;

7) $-8mn^{-6}$;

8) $7x(x+y)^{-2}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного числа $n$.

1) Чтобы представить выражение $3x^{-5}$ в виде дроби, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем. Отрицательная степень относится только к переменной $x$.

Применяя правило, получаем: $x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

Теперь умножим коэффициент 3 на полученную дробь:

$3x^{-5} = 3 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{3}{x^5}$.

Ответ: $\frac{3}{x^5}$

2) В выражении $5xy^{-2}$ степень с отрицательным показателем — это $y^{-2}$. Она относится только к переменной $y$.

Используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем $y^{-2}$:

$y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение. Множители $5$ и $x$ остаются в числителе:

$5xy^{-2} = 5x \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{5x}{y^2}$.

Ответ: $\frac{5x}{y^2}$

3) В выражении $a^{-1}b$ член $a^{-1}$ имеет отрицательную степень.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$.

Умножим это на $b$, которое остается в числителе:

$a^{-1}b = \frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{a}$.

Ответ: $\frac{b}{a}$

4) В выражении $m^{-2} \cdot n^{-3}$ оба множителя имеют отрицательные степени.

Преобразуем каждый множитель отдельно по правилу $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$m^{-2} = \frac{1}{m^2}$

$n^{-3} = \frac{1}{n^3}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$m^{-2} \cdot n^{-3} = \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{m^2n^3}$.

Ответ: $\frac{1}{m^2n^3}$

5) В выражении $a^{-3} \cdot b^2$ член $a^{-3}$ имеет отрицательную степень. Множитель $b^2$ имеет положительную степень и остается в числителе.

Преобразуем $a^{-3}$: $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

Теперь умножим на $b^2$:

$a^{-3} \cdot b^2 = \frac{1}{a^3} \cdot b^2 = \frac{b^2}{a^3}$.

Ответ: $\frac{b^2}{a^3}$

6) В выражении $5(xy)^{-2}$ отрицательная степень относится ко всему произведению $(xy)$ в скобках.

Воспользуемся свойством $(ab)^{-n} = \frac{1}{(ab)^n}$. В данном случае $ab = xy$ и $n=2$.

$(xy)^{-2} = \frac{1}{(xy)^2} = \frac{1}{x^2y^2}$.

Умножим результат на коэффициент 5, который остается в числителе:

$5(xy)^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2y^2} = \frac{5}{x^2y^2}$.

Ответ: $\frac{5}{x^2y^2}$

7) В выражении $-8mn^{-6}$ отрицательная степень относится только к переменной $n$.

Преобразуем $n^{-6}$ по правилу $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$n^{-6} = \frac{1}{n^6}$.

Подставим в исходное выражение. Множители $-8$ и $m$ остаются в числителе:

$-8mn^{-6} = -8m \cdot \frac{1}{n^6} = -\frac{8m}{n^6}$.

Ответ: $-\frac{8m}{n^6}$

8) В выражении $7x(x+y)^{-2}$ отрицательная степень относится ко всему выражению в скобках $(x+y)$.

Применим правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где основание $a = (x+y)$, а показатель $n=2$:

$(x+y)^{-2} = \frac{1}{(x+y)^2}$.

Теперь умножим на оставшиеся множители $7x$, которые остаются в числителе:

$7x(x+y)^{-2} = 7x \cdot \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{7x}{(x+y)^2}$.

Ответ: $\frac{7x}{(x+y)^2}$