Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.121. Запишите последующие два члена числовой последовательности:

1) $3; 9; 27; ... ;$;

2) $4; 16; 64; ... ;$;

3) $1; 2; 4; ... ;$;

4) $1; 5; 25; ... .$;

1) В числовой последовательности 3; 9; 27; ... можно заметить, что каждый последующий член в 3 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.
Первый член: $b_1 = 3 = 3^1$
Второй член: $b_2 = 9 = 3^2$
Третий член: $b_3 = 27 = 3^3$
Чтобы найти следующие два члена, необходимо продолжить данную закономерность, то есть найти четвертый и пятый члены последовательности.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$, или $b_4 = 3^4 = 81$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 81 \cdot 3 = 243$, или $b_5 = 3^5 = 243$.
Ответ: 81; 243.

2) В числовой последовательности 4; 16; 64; ... каждый последующий член в 4 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 4$.
Первый член: $b_1 = 4 = 4^1$
Второй член: $b_2 = 16 = 4^2$
Третий член: $b_3 = 64 = 4^3$
Найдем следующие два члена — четвертый и пятый:
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 64 \cdot 4 = 256$, или $b_4 = 4^4 = 256$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 256 \cdot 4 = 1024$, или $b_5 = 4^5 = 1024$.
Ответ: 256; 1024.

3) В числовой последовательности 1; 2; 4; ... каждый последующий член в 2 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 2$.
Первый член: $b_1 = 1 = 2^0$
Второй член: $b_2 = 2 = 2^1$
Третий член: $b_3 = 4 = 2^2$
Найдем следующие два члена — четвертый и пятый:
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$, или $b_4 = 2^3 = 8$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$, или $b_5 = 2^4 = 16$.
Ответ: 8; 16.

4) В числовой последовательности 1; 5; 25; ... каждый последующий член в 5 раз больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 5$.
Первый член: $b_1 = 1 = 5^0$
Второй член: $b_2 = 5 = 5^1$
Третий член: $b_3 = 25 = 5^2$
Найдем следующие два члена — четвертый и пятый:
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 25 \cdot 5 = 125$, или $b_4 = 5^3 = 125$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 125 \cdot 5 = 625$, или $b_5 = 5^4 = 625$.
Ответ: 125; 625.

1.122. Запишите числа 0,25; 0,5; 1; 2; 4 в виде степени с основанием, равным 2.

Для того чтобы записать данные числа в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $x$, для которого будет выполняться равенство $2^x = \text{данное число}$. Для этого мы будем преобразовывать числа, используя их представление в виде дробей и свойства степеней.

0,25
Сначала преобразуем десятичную дробь 0,25 в обыкновенную дробь: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Знаменатель 4 является второй степенью числа 2, то есть $4 = 2^2$.
Таким образом, мы имеем дробь $\frac{1}{2^2}$.
Согласно свойству степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать: $\frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Ответ: $2^{-2}$

0,5
Преобразуем десятичную дробь 0,5 в обыкновенную: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Дробь $\frac{1}{2}$ можно записать как $\frac{1}{2^1}$.
Используя то же свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{2^1} = 2^{-1}$.
Ответ: $2^{-1}$

1
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Это одно из основных свойств степеней: $a^0 = 1$.
Следовательно, для основания 2: $1 = 2^0$.
Ответ: $2^0$

2
Любое число в первой степени равно самому себе: $a^1 = a$.
Поэтому: $2 = 2^1$.
Ответ: $2^1$

4
Число 4 можно получить, умножив 2 на 2. Это означает, что 4 является квадратом числа 2: $4 = 2 \times 2 = 2^2$.
Ответ: $2^2$

1.123. Запишите числа $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{3}$; 1 в виде степени с основанием 3.

Чтобы записать данные числа в виде степени с основанием 3, необходимо найти такой показатель степени n, чтобы $3^n$ было равно исходному числу. Мы будем использовать следующие свойства степеней:

• Степень с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (где $a \ne 0$).
• Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$ (где $a \ne 0$).

Рассмотрим каждое число по отдельности.

$\frac{1}{27}$

Сначала представим знаменатель дроби, число 27, в виде степени с основанием 3.
$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, чтобы преобразовать дробь:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
Ответ: $3^{-3}$

$\frac{1}{9}$

Аналогично представим знаменатель, число 9, в виде степени с основанием 3.
$9 = 3 \times 3 = 3^2$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Ответ: $3^{-2}$

$\frac{1}{3}$

Число 3 можно представить как $3$ в первой степени: $3 = 3^1$.
Используя то же свойство, что и в предыдущих случаях, получаем:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$.
Ответ: $3^{-1}$

1

Согласно свойству степени с нулевым показателем, любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно единице.
Следовательно, для основания 3 это будет выглядеть так:
$1 = 3^0$.
Ответ: $3^0$

1.124. Запишите числа 0,2; 1; 5; 25 в виде степени с основанием 5.

Для решения этой задачи необходимо каждое из указанных чисел представить в виде степени с основанием 5, то есть в виде $5^x$, где $x$ — это показатель степени.

0,2
Сначала представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби. $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применив это свойство к нашему случаю, получаем: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$.
Ответ: $5^{-1}$

1
Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице. Это следует из определения степени с нулевым показателем: $a^0 = 1$.
Следовательно, для основания 5 мы можем записать:
$1 = 5^0$.
Ответ: $5^0$

5
Любое число в первой степени равно самому себе. По определению степени с показателем 1, $a^1 = a$.
Таким образом:
$5 = 5^1$.
Ответ: $5^1$

25
Число 25 можно получить, умножив 5 на 5: $25 = 5 \cdot 5$.
По определению возведения в степень, это является второй степенью числа 5:
$25 = 5^2$.
Ответ: $5^2$

1.125. Запишите число в стандартном виде и укажите его порядок:

1) 5 000 000;

2) 0,05;

3) 0,00064;

4) $ \frac{1}{7} \cdot 10^{-5} $;

5) 27 760 000 000;

6) 0,0019;

7) $ \frac{22}{210000} $;

8) $ \frac{1}{800000} $.

1) Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы представить число 5 000 000 в стандартном виде, необходимо переместить запятую, которая по умолчанию находится в конце числа, влево так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра. Перемещаем запятую на 6 позиций влево, чтобы получить число 5. Так как запятая была сдвинута на 6 позиций влево, показатель степени $n$ будет равен 6.
$5 000 000 = 5 \cdot 1 000 000 = 5 \cdot 10^6$.
Порядок числа — это показатель степени основания 10, то есть $n$.
Ответ: стандартный вид числа $5 \cdot 10^6$, порядок равен 6.

2) Чтобы представить число 0,05 в стандартном виде, нужно переместить запятую вправо так, чтобы перед ней оказалась одна значащая цифра. Перемещаем запятую на 2 позиции вправо, чтобы получить число 5. Поскольку запятая была сдвинута на 2 позиции вправо, показатель степени $n$ будет равен -2.
$0,05 = 5 \cdot 0,01 = 5 \cdot 10^{-2}$.
Ответ: стандартный вид числа $5 \cdot 10^{-2}$, порядок равен -2.

3) Для числа 0,00064 перемещаем запятую на 4 позиции вправо, чтобы получить число 6,4, которое удовлетворяет условию $1 \le 6,4 < 10$. Так как сдвиг был вправо на 4 позиции, показатель степени $n$ будет -4.
$0,00064 = 6,4 \cdot 0,0001 = 6,4 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: стандартный вид числа $6,4 \cdot 10^{-4}$, порядок равен -4.

4) В выражении $\frac{1}{7} \cdot 10^{-5}$ первый множитель $a = \frac{1}{7}$. Поскольку $\frac{1}{7} \approx 0,143$, это значение не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Преобразуем этот множитель:
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{10}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{10}{7} \cdot 10^{-1}$.
Теперь множитель $\frac{10}{7} \approx 1,43$ подходит под условие. Подставим его обратно в исходное выражение:
$(\frac{10}{7} \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = \frac{10}{7} \cdot 10^{-1+(-5)} = \frac{10}{7} \cdot 10^{-6}$.
Ответ: стандартный вид числа $\frac{10}{7} \cdot 10^{-6}$, порядок равен -6.

5) Для числа 27 760 000 000 перемещаем запятую влево, чтобы получить число в диапазоне от 1 до 10. Сдвигаем запятую на 10 позиций влево и получаем 2,776. Так как сдвиг был влево на 10 позиций, показатель степени $n$ будет равен 10.
$27 760 000 000 = 2,776 \cdot 10 000 000 000 = 2,776 \cdot 10^{10}$.
Ответ: стандартный вид числа $2,776 \cdot 10^{10}$, порядок равен 10.

6) Для числа 0,0019 перемещаем запятую на 3 позиции вправо, чтобы получить число 1,9. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,9 < 10$. Поскольку сдвиг был вправо на 3 позиции, показатель степени $n$ будет -3.
$0,0019 = 1,9 \cdot 0,001 = 1,9 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: стандартный вид числа $1,9 \cdot 10^{-3}$, порядок равен -3.

7) Преобразуем дробь $\frac{22}{210000}$. Сначала представим знаменатель в виде произведения числа и степени 10: $210000 = 21 \cdot 10^4$.
$\frac{22}{210000} = \frac{22}{21 \cdot 10^4} = \frac{22}{21} \cdot \frac{1}{10^4} = \frac{22}{21} \cdot 10^{-4}$.
Проверим первый множитель $a = \frac{22}{21}$. Так как $22 > 21$, то $\frac{22}{21} > 1$. Также $\frac{22}{21} < 2 < 10$. Следовательно, множитель $a$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$.
Ответ: стандартный вид числа $\frac{22}{21} \cdot 10^{-4}$, порядок равен -4.

8) Преобразуем дробь $\frac{1}{800000}$. Представим знаменатель в виде $800000 = 8 \cdot 10^5$.
$\frac{1}{800000} = \frac{1}{8 \cdot 10^5} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{10^5} = \frac{1}{8} \cdot 10^{-5}$.
Первый множитель $a = \frac{1}{8} = 0,125$. Это значение не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Преобразуем его:
$0,125 = 1,25 \cdot 0,1 = 1,25 \cdot 10^{-1}$.
Подставим в выражение:
$(1,25 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = 1,25 \cdot 10^{-1+(-5)} = 1,25 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: стандартный вид числа $1,25 \cdot 10^{-6}$, порядок равен -6.

1.126. Запишите число в стандартном виде:

1) расстояние от Солнца до Земли равно 149 500 000 км;

2) поверхность Земли составляет 510 083 000 $км^2$;

3) масса атома водорода равна 0,000 000 000 000 000 000 000 00172 г;

4) организм человека состоит из более чем 100 000 000 000 000 клеток.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) расстояние от Солнца до Земли равно 149 500 000 км

Чтобы записать число 149 500 000 в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения, где первый множитель $a$ — число от 1 до 10, а второй — степень числа 10. Переместим в числе 149 500 000 запятую влево так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (1). Получим число 1,495. Чтобы число 1,495 стало равным исходному числу 149 500 000, нужно переместить запятую на 8 знаков вправо. Это действие равносильно умножению на $10^8$. Следовательно, $149 500 000 = 1,495 \cdot 10^8$.

Ответ: $1,495 \cdot 10^8$ км.

2) поверхность Земли составляет 510 083 000 км²

Запишем число 510 083 000 в стандартном виде. Первый множитель $a$ должен быть в пределах $1 \le a < 10$. Для этого поставим запятую после первой значащей цифры (5), получив 5,10083. Чтобы из 5,10083 получить 510 083 000, нужно умножить его на $10^n$. Показатель $n$ равен количеству цифр, на которое мы сдвинули запятую. В данном случае мы сдвинули запятую на 8 позиций влево. Значит, $510 083 000 = 5,10083 \cdot 10^8$.

Ответ: $5,10083 \cdot 10^8$ км².

3) масса атома водорода равна 0,000 000 000 000 000 000 00172 г

Запишем число 0,000 000 000 000 000 000 00172 в стандартном виде. Поскольку это число меньше 1, показатель степени $n$ будет отрицательным. Переместим запятую вправо так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (1). Получим число 1,72. Мы переместили запятую на 22 знака вправо. Это действие равносильно умножению на $10^{-22}$. Следовательно, $0,000 000 000 000 000 000 00172 = 1,72 \cdot 10^{-22}$.

Ответ: $1,72 \cdot 10^{-22}$ г.

4) организм человека состоит из более чем 100 000 000 000 000 клеток

Запишем число 100 000 000 000 000 в стандартном виде. Поставим запятую после первой значащей цифры (1), получив $a=1$. Исходное число представляет собой единицу с 14 нулями. Это означает, что число можно записать как 1, умноженное на 10 в 14-й степени. Таким образом, $100 000 000 000 000 = 1 \cdot 10^{14}$.

Ответ: $1 \cdot 10^{14}$ клеток.