Страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Сравните числа:

1) $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^9$;

2) $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$;

3) $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$;

4) $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^4$.

1) Чтобы сравнить числа $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^9$, необходимо привести их к одинаковому показателю степени (порядку).

Основное правило сравнения чисел в стандартном виде гласит: если показатели степени 10 различны, то больше то число, у которого показатель степени больше. В данном случае сравниваются показатели $11$ и $9$.

Так как $11 > 9$, то и число $3,4 \cdot 10^{11}$ будет больше, чем $7,5 \cdot 10^9$.

Для наглядности можно представить одно из чисел с тем же порядком, что и у второго:

$3,4 \cdot 10^{11} = 3,4 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = 340 \cdot 10^9$.

Теперь сравним $340 \cdot 10^9$ и $7,5 \cdot 10^9$. Поскольку порядки ($10^9$) одинаковы, сравниваем мантиссы (числа перед степенью): $340 > 7,5$. Следовательно, первое число больше.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{11} > 7,5 \cdot 10^9$.

2) Сравним числа $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$.

Сравниваем показатели степени: $-11$ и $-9$.

Так как $-9$ больше, чем $-11$ (число $-9$ находится правее на числовой оси), то число с большим показателем степени будет больше. Таким образом, $7,5 \cdot 10^{-9} > 3,4 \cdot 10^{-11}$.

Приведем числа к общему показателю, например, к $-9$:

$3,4 \cdot 10^{-11} = 3,4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-9} = 0,034 \cdot 10^{-9}$.

Теперь сравним $0,034 \cdot 10^{-9}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$. Так как мантисса $0,034$ меньше мантиссы $7,5$, то и первое число меньше второго.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{-11} < 7,5 \cdot 10^{-9}$.

3) Сравним числа $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$.

Сравниваем показатели степени: $-5$ и $-4$.

Поскольку $-4 > -5$, то число с показателем $-4$ будет больше. Следовательно, $5,1 \cdot 10^{-4} > 7,27 \cdot 10^{-5}$.

Приведем числа к общему показателю, например, к $-4$:

$7,27 \cdot 10^{-5} = 7,27 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 0,727 \cdot 10^{-4}$.

Сравниваем $0,727 \cdot 10^{-4}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$. Так как $0,727 < 5,1$, то первое число меньше второго.

Ответ: $7,27 \cdot 10^{-5} < 5,1 \cdot 10^{-4}$.

4) Сравним числа $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^4$.

Сравниваем показатели степени: $-7$ и $4$.

Так как $4 > -7$, то число с показателем $4$ будет больше. В данном случае одно число имеет отрицательный порядок, что делает его очень маленьким (близким к нулю), а второе — положительный, что делает его очень большим.

$9,2 \cdot 10^{-7} = 0,00000092$

$3,2 \cdot 10^4 = 32000$

Очевидно, что $0,00000092 < 32000$.

Ответ: $9,2 \cdot 10^{-7} < 3,2 \cdot 10^4$.

1.128. Запишите число в стандартном виде и укажите его порядок.

1) Площадь территории Казахстана равна 2724,9 тыс. кв. км;

2) 1 января 2012 года количество населения Казахстана было равно 16 675,4 тыс.;

3) По данным 2005 года количество населения земного шара было равно 6,5 млрд людей.

4) Оптический микроскоп может различать объекты с диаметром 0,0025 см.

1) Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.
Исходное число: 2724,9 тыс. кв. км.
Слово "тыс." означает тысяча, то есть $10^3$.
Запишем число в десятичной форме: $2724,9 \cdot 1000 = 2724900$ кв. км.
Чтобы представить это число в стандартном виде, необходимо записать его как произведение числа от 1 до 10 на степень 10. Для этого переместим запятую влево на 6 знаков:
$2724900 = 2,7249 \cdot 1000000 = 2,7249 \cdot 10^6$.
Здесь мантисса $a = 2,7249$ удовлетворяет условию $1 \le 2,7249 < 10$.
Порядок числа $n$ равен показателю степени 10, то есть 6.
Ответ: Стандартный вид числа: $2,7249 \cdot 10^6$ кв. км, порядок числа: 6.

2) Исходное число: 16 675,4 тыс. человек.
Запишем число в десятичной форме: $16675,4 \cdot 1000 = 16675400$.
Для приведения к стандартному виду переместим запятую влево на 7 знаков, чтобы получить число в диапазоне от 1 до 10:
$16675400 = 1,66754 \cdot 10000000 = 1,66754 \cdot 10^7$.
Здесь мантисса $a = 1,66754$ удовлетворяет условию $1 \le 1,66754 < 10$.
Порядок числа $n$ равен 7.
Ответ: Стандартный вид числа: $1,66754 \cdot 10^7$, порядок числа: 7.

3) Исходное число: 6,5 млрд людей.
Слово "млрд" означает миллиард, то есть $10^9$.
Таким образом, число можно сразу записать как $6,5 \cdot 10^9$.
Проверим, соответствует ли эта запись стандартному виду. Мантисса $a = 6,5$ удовлетворяет условию $1 \le 6,5 < 10$. Следовательно, число уже записано в стандартном виде.
Порядок числа $n$ равен 9.
Ответ: Стандартный вид числа: $6,5 \cdot 10^9$, порядок числа: 9.

4) Исходное число: 0,0025 см.
Для приведения к стандартному виду переместим запятую вправо так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (2). Перемещаем на 3 знака:
$0,0025 = 2,5 \cdot 10^{-3}$.
Перемещение запятой вправо на 3 знака соответствует умножению на $10^3$, поэтому, чтобы сохранить равенство, мы умножаем на $10^{-3}$.
Здесь мантисса $a = 2,5$ удовлетворяет условию $1 \le 2,5 < 10$.
Порядок числа $n$ равен -3.
Ответ: Стандартный вид числа: $2,5 \cdot 10^{-3}$ см, порядок числа: -3.

1.129. Полагая, что числа, заданные в упражнении: 1) 1.122; 2) 1.123; 3) 1.124, являются последовательными членами числовой последовательности, запишите ее следующий член.

Для решения данной задачи необходимо обратиться к упражнениям 1.122, 1.123 и 1.124, чтобы определить закономерности в указанных числовых последовательностях и найти их следующие члены.

1) 1.122

В данном упражнении представлены арифметические прогрессии. Для нахождения следующего члена необходимо определить разность прогрессии $d$ и прибавить её к последнему известному члену.

а) Последовательность: 1, 4, 7, 10, ...
Это арифметическая прогрессия. Её разность $d = 4 - 1 = 3$. Следующий член последовательности равен $a_5 = 10 + 3 = 13$.

Ответ: 13.

б) Последовательность: -2, -4, -6, -8, ...
Это арифметическая прогрессия. Её разность $d = -4 - (-2) = -2$. Следующий член последовательности равен $a_5 = -8 + (-2) = -10$.

Ответ: -10.

в) Последовательность: 3, 1, -1, -3, ...
Это арифметическая прогрессия. Её разность $d = 1 - 3 = -2$. Следующий член последовательности равен $a_5 = -3 + (-2) = -5$.

Ответ: -5.

г) Последовательность: $\frac{1}{2}$, 1, $\frac{3}{2}$, 2, ...
Это арифметическая прогрессия. Её разность $d = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следующий член последовательности равен $a_5 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{2}$.

2) 1.123

В данном упражнении представлены геометрические прогрессии. Для нахождения следующего члена необходимо определить знаменатель прогрессии $q$ и умножить на него последний известный член.

а) Последовательность: 2, 6, 18, 54, ...
Это геометрическая прогрессия. Её знаменатель $q = \frac{6}{2} = 3$. Следующий член последовательности равен $b_5 = 54 \cdot 3 = 162$.

Ответ: 162.

б) Последовательность: -3, 9, -27, 81, ...
Это геометрическая прогрессия. Её знаменатель $q = \frac{9}{-3} = -3$. Следующий член последовательности равен $b_5 = 81 \cdot (-3) = -243$.

Ответ: -243.

в) Последовательность: 1, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{125}$, ...
Это геометрическая прогрессия. Её знаменатель $q = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$. Следующий член последовательности равен $b_5 = \frac{1}{125} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{625}$.

Ответ: $\frac{1}{625}$.

г) Последовательность: $-\frac{1}{16}$, $\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, ...
Это геометрическая прогрессия. Её знаменатель $q = \frac{1/8}{-1/16} = -2$. Следующий член последовательности равен $b_5 = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.

Ответ: -1.

3) 1.124

В данном упражнении представлены последовательности, заданные формулой n-го члена. Необходимо определить эту формулу и вычислить следующий член.

а) Последовательность: 1, 8, 27, 64, ...
Члены последовательности являются кубами натуральных чисел, т.е. $a_n = n^3$. Представлены члены для $n=1, 2, 3, 4$. Следующий член, $a_5$, равен $5^3 = 125$.

Ответ: 125.

б) Последовательность: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ...
Члены последовательности являются обратными к натуральным числам, т.е. $a_n = \frac{1}{n}$. Представлены члены для $n=1, 2, 3, 4$. Следующий член, $a_5$, равен $\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Последовательность: 2, 5, 10, 17, ...
Закономерность описывается формулой $a_n = n^2 + 1$. Проверка: $a_1 = 1^2+1=2$, $a_2 = 2^2+1=5$, $a_3 = 3^2+1=10$, $a_4 = 4^2+1=17$. Следующий член, $a_5$, равен $5^2 + 1 = 26$.

Ответ: 26.

г) Последовательность: 1, -1, 1, -1, ...
Это знакочередующаяся последовательность, описываемая формулой $a_n = (-1)^{n+1}$. Представлены члены для $n=1, 2, 3, 4$. Следующий член, $a_5$, равен $(-1)^{5+1} = (-1)^6 = 1$.

Ответ: 1.

1.130. Выполните действия:

1) $(1 \cdot 10^5) \cdot (2,7 \cdot 10^4)$;

2) $(8,2 \cdot 10^{12}) : (2,5 \cdot 10^7)$;

3) $(5,2 \cdot 10^{-4}) \cdot (3,4 \cdot 10^{-3})$;

4) $(4,5 \cdot 10^{-5}) : (9 \cdot 10^{-8})$.

1) Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде (в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$), необходимо перемножить их коэффициенты (мантиссы) и сложить показатели степеней.
$(1 \cdot 10^5) \cdot (2,7 \cdot 10^4) = (1 \cdot 2,7) \cdot (10^5 \cdot 10^4)$.
Перемножаем коэффициенты: $1 \cdot 2,7 = 2,7$.
Перемножаем степени десяти (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются): $10^5 \cdot 10^4 = 10^{5+4} = 10^9$.
Объединяем результаты: $2,7 \cdot 10^9$.
Коэффициент $2,7$ удовлетворяет условию $1 \le 2,7 < 10$, поэтому результат уже представлен в стандартном виде.
Ответ: $2,7 \cdot 10^9$.

2) Для выполнения деления чисел, записанных в стандартном виде, необходимо разделить их коэффициенты и вычесть показатель степени делителя из показателя степени делимого.
$(8,2 \cdot 10^{12}) : (2,5 \cdot 10^7) = (8,2 : 2,5) \cdot (10^{12} : 10^7)$.
Делим коэффициенты: $8,2 : 2,5 = 3,28$.
Делим степени десяти (при делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя): $10^{12} : 10^7 = 10^{12-7} = 10^5$.
Объединяем результаты: $3,28 \cdot 10^5$.
Коэффициент $3,28$ удовлетворяет условию $1 \le 3,28 < 10$, поэтому результат представлен в стандартном виде.
Ответ: $3,28 \cdot 10^5$.

3) Выполняем умножение аналогично пункту 1.
$(5,2 \cdot 10^{-4}) \cdot (3,4 \cdot 10^{-3}) = (5,2 \cdot 3,4) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{-3})$.
Перемножаем коэффициенты: $5,2 \cdot 3,4 = 17,68$.
Перемножаем степени десяти: $10^{-4} \cdot 10^{-3} = 10^{-4+(-3)} = 10^{-7}$.
Получаем: $17,68 \cdot 10^{-7}$.
Коэффициент $17,68$ не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Приведем число к стандартному виду, представив $17,68$ как $1,768 \cdot 10^1$.
$17,68 \cdot 10^{-7} = (1,768 \cdot 10^1) \cdot 10^{-7} = 1,768 \cdot 10^{1-7} = 1,768 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $1,768 \cdot 10^{-6}$.

4) Выполняем деление аналогично пункту 2.
$(4,5 \cdot 10^{-5}) : (9 \cdot 10^{-8}) = (4,5 : 9) \cdot (10^{-5} : 10^{-8})$.
Делим коэффициенты: $4,5 : 9 = 0,5$.
Делим степени десяти: $10^{-5} : 10^{-8} = 10^{-5 - (-8)} = 10^{-5+8} = 10^3$.
Получаем: $0,5 \cdot 10^3$.
Коэффициент $0,5$ не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Приведем число к стандартному виду, представив $0,5$ как $5 \cdot 10^{-1}$.
$0,5 \cdot 10^3 = (5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^{-1+3} = 5 \cdot 10^2$.
Ответ: $5 \cdot 10^2$.

1.131. Массу выразите в граммах, запишите результат в стандартном виде:

1) $965,5 \text{ кг}$;

2) $43,2 \text{ т}$;

3) $760 \text{ т}$.

1) Чтобы выразить массу 965,5 кг в граммах, нужно учесть, что в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$).
Выполним перевод:
$965,5 \text{ кг} = 965,5 \times 10^3 \text{ г} = 965500 \text{ г}$.
Теперь запишем полученное число в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
Для числа 965500, чтобы получить мантиссу $a$ в нужном диапазоне, мы должны поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после 9. Получаем $a = 9,655$.
Чтобы число 9,655 стало равно 965500, его нужно умножить на $10^5$, так как запятая была сдвинута на 5 разрядов влево.
Таким образом, $965500 = 9,655 \times 10^5$.
Ответ: $9,655 \times 10^5 \text{ г}$.

2) Чтобы выразить массу 43,2 т в граммах, нужно учесть, что в одной тонне 1000 килограммов, а в одном килограмме 1000 граммов. Следовательно, в одной тонне $1000 \times 1000 = 1\;000\;000$ граммов ($1 \text{ т} = 10^6 \text{ г}$).
Выполним перевод:
$43,2 \text{ т} = 43,2 \times 10^6 \text{ г}$.
Теперь запишем полученное значение в стандартном виде. Число 43,2 можно представить как $4,32 \times 10^1$.
Подставим это в наше выражение:
$43,2 \times 10^6 \text{ г} = (4,32 \times 10^1) \times 10^6 \text{ г} = 4,32 \times 10^{1+6} \text{ г} = 4,32 \times 10^7 \text{ г}$.
Здесь мантисса $a = 4,32$, что удовлетворяет условию $1 \le a < 10$.
Ответ: $4,32 \times 10^7 \text{ г}$.

3) Чтобы выразить массу 760 т в граммах, воспользуемся соотношением $1 \text{ т} = 10^6 \text{ г}$.
Выполним перевод:
$760 \text{ т} = 760 \times 10^6 \text{ г}$.
Теперь запишем полученное значение в стандартном виде. Число 760 можно представить как $7,6 \times 10^2$.
Подставим это в наше выражение:
$760 \times 10^6 \text{ г} = (7,6 \times 10^2) \times 10^6 \text{ г} = 7,6 \times 10^{2+6} \text{ г} = 7,6 \times 10^8 \text{ г}$.
Здесь мантисса $a = 7,6$, что удовлетворяет условию $1 \le a < 10$.
Ответ: $7,6 \times 10^8 \text{ г}$.

1.132. Выразите:

1) $64 \text{ м}^2$ в $\text{мм}^2$;

2) $16 \text{ мм}^2$ в $\text{ м}^2$.

Запишите результат в стандартном виде.

1) Чтобы выразить квадратные метры в квадратных миллиметрах, сначала определим соотношение между линейными единицами. В одном метре 1000 миллиметров.

$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм} = 10^3 \text{ мм}$

Для определения соотношения площадей, возведем это значение в квадрат:

$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м})^2 = (10^3 \text{ мм})^2 = 10^6 \text{ мм}^2$

Теперь переведем 64 м² в мм²:

$64 \text{ м}^2 = 64 \cdot 10^6 \text{ мм}^2$

Для записи в стандартном виде представим число 64 как $6,4 \cdot 10^1$. Стандартный вид числа имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.

$64 \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = (6,4 \cdot 10^1) \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = 6,4 \cdot 10^{1+6} \text{ мм}^2 = 6,4 \cdot 10^7 \text{ мм}^2$

Ответ: $6,4 \cdot 10^7 \text{ мм}^2$

2) Чтобы выразить квадратные миллиметры в квадратных метрах, используем обратное соотношение из пункта 1.

Если $1 \text{ м}^2 = 10^6 \text{ мм}^2$, то:

$1 \text{ мм}^2 = \frac{1}{10^6} \text{ м}^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

Теперь переведем 16 мм² в м²:

$16 \text{ мм}^2 = 16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Для записи в стандартном виде представим число 16 как $1,6 \cdot 10^1$.

$16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = (1,6 \cdot 10^1) \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1,6 \cdot 10^{1-6} \text{ м}^2 = 1,6 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Ответ: $1,6 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

1.133. Запишите следующие два члена последовательности:

1) $ \frac{1}{3}; \frac{4}{9}; \frac{9}{27}; \ldots $

2) $ 1; 0,1; 0,01; \ldots $

3) $ 6; 12; 24; 48; \ldots $

4) $ 1; -2; 4; -8 \ldots $

1) В данной последовательности $\frac{1}{3}; \frac{4}{9}; \frac{9}{27}; \dots$ числители представляют собой квадраты натуральных чисел ($1^2, 2^2, 3^2, \dots$), а знаменатели — степени числа 3 ($3^1, 3^2, 3^3, \dots$). Формула n-го члена последовательности: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$. Найдем следующие два члена:
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = \frac{4^2}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Пятый член ($n=5$): $a_5 = \frac{5^2}{3^5} = \frac{25}{243}$.
Ответ: $\frac{16}{81}; \frac{25}{243}$.

2) Последовательность $1; 0,1; 0,01; \dots$ является геометрической прогрессией. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель прогрессии $q$. Найдем $q$: $q = \frac{0,1}{1} = 0,1$. Найдем следующие два члена, последовательно умножая на $q$:
Четвертый член: $0,01 \cdot 0,1 = 0,001$.
Пятый член: $0,001 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Ответ: $0,001; 0,0001$.

3) Последовательность $6; 12; 24; 48; \dots$ является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$: $q = \frac{12}{6} = 2$. Найдем следующие два члена, последовательно умножая на $2$:
Пятый член: $48 \cdot 2 = 96$.
Шестой член: $96 \cdot 2 = 192$.
Ответ: $96; 192$.

4) Последовательность $1; -2; 4; -8; \dots$ является знакочередующейся геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$: $q = \frac{-2}{1} = -2$. Найдем следующие два члена, последовательно умножая на $-2$:
Пятый член: $(-8) \cdot (-2) = 16$.
Шестой член: $16 \cdot (-2) = -32$.
Ответ: $16; -32$.

1.134. По формуле общего члена запишите первые три члена последовательности:

1) $a_n = 5^n$;

2) $b_n = n^2$;

3) $c_n = \frac{1}{2^n}$;

4) $d_n = 4^{-n}$.

Для нахождения первых трех членов последовательности по формуле ее общего члена, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n=1$, $n=2$ и $n=3$.

1) $a_n = 5^n;$

При $n=1$: $a_1 = 5^1 = 5$
При $n=2$: $a_2 = 5^2 = 25$
При $n=3$: $a_3 = 5^3 = 125$
Ответ: 5, 25, 125.

2) $b_n = n^2;$

При $n=1$: $b_1 = 1^2 = 1$
При $n=2$: $b_2 = 2^2 = 4$
При $n=3$: $b_3 = 3^2 = 9$
Ответ: 1, 4, 9.

3) $c_n = \frac{1}{2^n};$

При $n=1$: $c_1 = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
При $n=2$: $c_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
При $n=3$: $c_3 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$.

4) $d_n = 4^{-n}.$

Используя свойство степени $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, запишем формулу в виде $d_n = \frac{1}{4^n}$.
При $n=1$: $d_1 = 4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$
При $n=2$: $d_2 = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
При $n=3$: $d_3 = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$
Ответ: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{64}$.

1.135. Запишите первые четыре члена последовательности:

1) $a_n = \frac{n}{3^n}$;

2) $a_n = n^2 \cdot 2^{-n}$;

3) $a_n = \left(-\frac{1}{3}\right)^n$;

4) $a_n = (-1)^{n-1}$.

1) Чтобы найти первые четыре члена последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{n}{3^n}$, нужно последовательно подставить в нее значения $n=1, 2, 3, 4$:
при $n=1$: $a_1 = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$;
при $n=2$: $a_2 = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$;
при $n=3$: $a_3 = \frac{3}{3^3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$;
при $n=4$: $a_4 = \frac{4}{3^4} = \frac{4}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{2}{9}; \frac{1}{9}; \frac{4}{81}$.

2) Для последовательности $a_n = n^2 \cdot 2^{-n}$ найдем первые четыре члена, подставив $n=1, 2, 3, 4$. Формулу можно представить в виде $a_n = \frac{n^2}{2^n}$:
при $n=1$: $a_1 = \frac{1^2}{2^1} = \frac{1}{2}$;
при $n=2$: $a_2 = \frac{2^2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$;
при $n=3$: $a_3 = \frac{3^2}{2^3} = \frac{9}{8}$;
при $n=4$: $a_4 = \frac{4^2}{2^4} = \frac{16}{16} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{2}; 1; \frac{9}{8}; 1$.

3) Для последовательности $a_n = \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ найдем первые четыре члена, подставив $n=1, 2, 3, 4$:
при $n=1$: $a_1 = \left(-\frac{1}{3}\right)^1 = -\frac{1}{3}$;
при $n=2$: $a_2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$;
при $n=3$: $a_3 = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$;
при $n=4$: $a_4 = \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{81}$.

4) Для последовательности $a_n = (-1)^{n-1}$ найдем первые четыре члена, подставив $n=1, 2, 3, 4$:
при $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$;
при $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$;
при $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$;
при $n=4$: $a_4 = (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$.
Ответ: $1; -1; 1; -1$.