Номер 1.127, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Сравните числа:

1) $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^9$;

2) $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$;

3) $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$;

4) $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^4$.

1) Чтобы сравнить числа $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^9$, необходимо привести их к одинаковому показателю степени (порядку).

Основное правило сравнения чисел в стандартном виде гласит: если показатели степени 10 различны, то больше то число, у которого показатель степени больше. В данном случае сравниваются показатели $11$ и $9$.

Так как $11 > 9$, то и число $3,4 \cdot 10^{11}$ будет больше, чем $7,5 \cdot 10^9$.

Для наглядности можно представить одно из чисел с тем же порядком, что и у второго:

$3,4 \cdot 10^{11} = 3,4 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = 340 \cdot 10^9$.

Теперь сравним $340 \cdot 10^9$ и $7,5 \cdot 10^9$. Поскольку порядки ($10^9$) одинаковы, сравниваем мантиссы (числа перед степенью): $340 > 7,5$. Следовательно, первое число больше.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{11} > 7,5 \cdot 10^9$.

2) Сравним числа $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$.

Сравниваем показатели степени: $-11$ и $-9$.

Так как $-9$ больше, чем $-11$ (число $-9$ находится правее на числовой оси), то число с большим показателем степени будет больше. Таким образом, $7,5 \cdot 10^{-9} > 3,4 \cdot 10^{-11}$.

Приведем числа к общему показателю, например, к $-9$:

$3,4 \cdot 10^{-11} = 3,4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-9} = 0,034 \cdot 10^{-9}$.

Теперь сравним $0,034 \cdot 10^{-9}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$. Так как мантисса $0,034$ меньше мантиссы $7,5$, то и первое число меньше второго.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{-11} < 7,5 \cdot 10^{-9}$.

3) Сравним числа $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$.

Сравниваем показатели степени: $-5$ и $-4$.

Поскольку $-4 > -5$, то число с показателем $-4$ будет больше. Следовательно, $5,1 \cdot 10^{-4} > 7,27 \cdot 10^{-5}$.

Приведем числа к общему показателю, например, к $-4$:

$7,27 \cdot 10^{-5} = 7,27 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 0,727 \cdot 10^{-4}$.

Сравниваем $0,727 \cdot 10^{-4}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$. Так как $0,727 < 5,1$, то первое число меньше второго.

Ответ: $7,27 \cdot 10^{-5} < 5,1 \cdot 10^{-4}$.

4) Сравним числа $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^4$.

Сравниваем показатели степени: $-7$ и $4$.

Так как $4 > -7$, то число с показателем $4$ будет больше. В данном случае одно число имеет отрицательный порядок, что делает его очень маленьким (близким к нулю), а второе — положительный, что делает его очень большим.

$9,2 \cdot 10^{-7} = 0,00000092$

$3,2 \cdot 10^4 = 32000$

Очевидно, что $0,00000092 < 32000$.

Ответ: $9,2 \cdot 10^{-7} < 3,2 \cdot 10^4$.