Номер 1.90, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Может ли уравнение $x^4-x^3+2x^2-4x+1=0$ иметь отрицательные корни?

Чтобы ответить на вопрос, может ли уравнение $x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1 = 0$ иметь отрицательные корни, мы должны проверить, может ли левая часть уравнения быть равной нулю при $x < 0$.

Предположим, что $x$ является отрицательным корнем. Это означает, что $x < 0$. Мы можем представить такое число $x$ в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число, то есть $a > 0$.

Теперь подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - (-a)^3 + 2(-a)^2 - 4(-a) + 1 = 0$

Выполним преобразования, используя свойства степеней:

$a^4 - (-a^3) + 2(a^2) + 4a + 1 = 0$

$a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1 = 0$

Мы получили новое уравнение относительно переменной $a$. Проанализируем левую часть этого уравнения, помня, что по нашему предположению $a > 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в выражении $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 0$), то:

слагаемое $a^4$ строго больше нуля ($a^4 > 0$);

слагаемое $a^3$ строго больше нуля ($a^3 > 0$);

слагаемое $2a^2$ строго больше нуля ($2a^2 > 0$);

слагаемое $4a$ строго больше нуля ($4a > 0$);

слагаемое $1$ также строго больше нуля.

Таким образом, левая часть уравнения, $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1$, является суммой пяти строго положительных чисел. Сумма строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Это означает, что для любого $a > 0$ выполняется неравенство $a^4 + a^3 + 2a^2 + 4a + 1 > 0$. Следовательно, это выражение никогда не может равняться нулю.

Мы пришли к выводу, что для любого отрицательного $x$ левая часть исходного уравнения будет строго положительной, а значит, не может быть равна нулю. Таким образом, предположение о существовании отрицательного корня неверно.

Ответ:

Нет, данное уравнение не может иметь отрицательные корни.