Номер 1.84, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Вычислите:

1) $\frac{2^5 \cdot (2^3)^3}{2^{13}}$;

2) $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{20}}$;

3) $\frac{(5^5)^2}{25 \cdot 5^6}$;

4) $\frac{81 \cdot 3^6}{(3^4)^3}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$.
Теперь числитель имеет вид $2^5 \cdot 2^9$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^5 \cdot 2^9 = 2^{5+9} = 2^{14}$.
Получаем дробь: $\frac{2^{14}}{2^{13}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{14}}{2^{13}} = 2^{14-13} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Упростим выражение, используя свойства степеней.
В числителе сначала возведем степень в степень: $(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$.
Теперь числитель выглядит так: $5^{16} \cdot 5^7$. Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели: $5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.
Выражение принимает вид: $\frac{5^{23}}{5^{20}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{5^{23}}{5^{20}} = 5^{23-20} = 5^3$.
Вычислим значение: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

3) Для вычисления этого выражения приведем все числа к основанию 5.
Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень: $(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}$.
Упростим знаменатель. Представим число 25 как степень с основанием 5: $25 = 5^2$.
Знаменатель принимает вид: $5^2 \cdot 5^6$. Умножим степени, сложив их показатели: $5^2 \cdot 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{5^{10}}{5^8}$.
Вычтем показатели степеней: $5^{10-8} = 5^2$.
Вычислим результат: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

4) Для решения примера приведем все числа к основанию 3.
В числителе представим число 81 как степень с основанием 3: $81 = 3^4$.
Теперь числитель выглядит так: $3^4 \cdot 3^6$. При умножении степеней их показатели складываются: $3^{4+6} = 3^{10}$.
В знаменателе возведем степень в степень: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.
Получаем дробь: $\frac{3^{10}}{3^{12}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $3^{10-12} = 3^{-2}$.
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на эту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$