Номер 1.77, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Упростите выражение:

1) $\frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2}$

2) $\frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3}$

3) $\frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5}$

1) Исходное выражение: $\frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2}$.
Сначала упростим выражение в скобках в числителе, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{(x^3)^4}{(x^3)^2}$.
Далее, применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю и знаменателю:
В числителе: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.
В знаменателе: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
Получаем дробь: $\frac{x^{12}}{x^6}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{12}}{x^6} = x^{12-6} = x^6$.
Ответ: $x^6$.

2) Исходное выражение: $\frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3}$.
Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
В числителе: $(ab)^2 = a^2b^2$.
В знаменателе: $(ab)^3 = a^3b^3$.
Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: $\frac{a^2b^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot a^3b^3}$.
Теперь сгруппируем и умножим степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
Числитель: $a^2 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 = a^{2+3}b^{2+4} = a^5b^6$.
Знаменатель: $a^1 \cdot a^3 \cdot b^3 = a^{1+3}b^3 = a^4b^3$.
Получаем дробь: $\frac{a^5b^6}{a^4b^3}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{a^5}{a^4} \cdot \frac{b^6}{b^3} = a^{5-4}b^{6-3} = a^1b^3 = ab^3$.
Ответ: $ab^3$.

3) Исходное выражение: $\frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5}$.
Раскроем скобки в числителе, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, а затем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^2 \cdot x^3)^5 = (a^2)^5 \cdot (x^3)^5 = a^{2 \cdot 5}x^{3 \cdot 5} = a^{10}x^{15}$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^2)^2 \cdot x^5 = a^{2 \cdot 2}x^5 = a^4x^5$.
Получаем дробь: $\frac{a^{10}x^{15}}{a^4x^5}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{a^{10}}{a^4} \cdot \frac{x^{15}}{x^5} = a^{10-4}x^{15-5} = a^6x^{10}$.
Ответ: $a^6x^{10}$.