Номер 1.73, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Запишите выражение в виде степени с основанием a:

1) $(a^5)^2 \cdot a$;

2) $a^3 \cdot a^3$;

3) $a \cdot a^2 \cdot a^3$;

4) $((a^2)^3)^4$;

5) $(a^2 \cdot a^3)^2$;

6) $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a$.

1)

Для упрощения выражения $(a^5)^2 \cdot a$ необходимо применить два свойства степеней.

Первое свойство — возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применим его к $(a^5)^2$:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Второе свойство — умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применим его к полученному выражению $a^{10}$ и $a$. Следует помнить, что $a$ можно представить как $a^1$.

$a^{10} \cdot a = a^{10} \cdot a^1 = a^{10+1} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$.

2)

Для упрощения выражения $a^3 \cdot a^3$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В данном случае основание $a$ одинаковое, а показатели степеней равны 3. Складываем показатели:

$a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$

Ответ: $a^6$.

3)

Для упрощения выражения $a \cdot a^2 \cdot a^3$ применяется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$.

Нужно учесть, что $a$ — это степень с показателем 1, то есть $a = a^1$.

Теперь сложим все показатели степеней:

$a \cdot a^2 \cdot a^3 = a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 = a^{1+2+3} = a^6$

Ответ: $a^6$.

4)

Для упрощения выражения $((a^2)^3)^4$ нужно последовательно применить свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Сначала упростим внутреннюю часть выражения, $(a^2)^3$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

Теперь возведем полученный результат $a^6$ в 4-ю степень:

$(a^6)^4 = a^{6 \cdot 4} = a^{24}$

Альтернативно, можно сразу перемножить все показатели: $a^{2 \cdot 3 \cdot 4} = a^{24}$.

Ответ: $a^{24}$.

5)

В выражении $(a^2 \cdot a^3)^2$ сначала нужно выполнить действие в скобках.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

Теперь возведем полученный результат в квадрат, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$.

6)

Для упрощения выражения $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a$ выполним действия по порядку.

Сначала возведем степень в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$

Теперь выражение имеет вид: $a^2 \cdot a^{12} \cdot a$.

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$. Учтем, что $a = a^1$.

$a^2 \cdot a^{12} \cdot a^1 = a^{2+12+1} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$.