Страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Вычислите:

1) $4^2 \cdot 4$;

2) $1,1 \cdot 1,1^2$;

3) $5^5 : 5^3$;

4) $(2 \frac{3}{5})^6 : (2 \frac{3}{5})^4$.

1) Для вычисления произведения $4^2 \cdot 4$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Представим число $4$ как $4^1$.
$4^2 \cdot 4 = 4^2 \cdot 4^1 = 4^{2+1} = 4^3$.
Теперь вычислим значение $4^3$:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64.

2) Для вычисления произведения $1,1 \cdot 1,1^2$ также используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Представим число $1,1$ как $1,1^1$.
$1,1 \cdot 1,1^2 = 1,1^1 \cdot 1,1^2 = 1,1^{1+2} = 1,1^3$.
Теперь вычислим значение $1,1^3$:
$1,1^3 = 1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1 = 1,21 \cdot 1,1 = 1,331$.
Ответ: 1,331.

3) Для вычисления частного $5^5 : 5^3$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^5 : 5^3 = 5^{5-3} = 5^2$.
Вычислим значение $5^2$:
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: 25.

4) Для вычисления частного $\left(2\frac{3}{5}\right)^6 : \left(2\frac{3}{5}\right)^4$ используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$\left(2\frac{3}{5}\right)^6 : \left(2\frac{3}{5}\right)^4 = \left(2\frac{3}{5}\right)^{6-4} = \left(2\frac{3}{5}\right)^2$.
Для удобства вычисления преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5}$.
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$\left(\frac{13}{5}\right)^2 = \frac{13^2}{5^2} = \frac{169}{25}$.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{169}{25} = 6\frac{19}{25}$.
Ответ: $6\frac{19}{25}$.

1.42. Упростите выражение:

1) $a \cdot a^3 \cdot a^5$;

2) $a^7 : a^5$;

3) $x^2 \cdot x^4 \cdot x^5$;

4) $m^{10} : m^7$;

5) $y^{12} : y^{11}$;

6) $c^5 \cdot c^{10} \cdot c$.

1) Для упрощения выражения $a \cdot a^3 \cdot a^5$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Помним, что $a$ это то же самое, что и $a^1$.

Складываем показатели степеней:

$a \cdot a^3 \cdot a^5 = a^1 \cdot a^3 \cdot a^5 = a^{1+3+5} = a^9$.

Ответ: $a^9$.

2) Для упрощения выражения $a^7 : a^5$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Вычитаем показатели степеней:

$a^7 : a^5 = a^{7-5} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

3) Упростим выражение $x^2 \cdot x^4 \cdot x^5$, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Складываем показатели степеней:

$x^2 \cdot x^4 \cdot x^5 = x^{2+4+5} = x^{11}$.

Ответ: $x^{11}$.

4) Упростим выражение $m^{10} : m^7$, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Вычитаем показатели степеней:

$m^{10} : m^7 = m^{10-7} = m^3$.

Ответ: $m^3$.

5) Упростим выражение $y^{12} : y^{11}$ по правилу деления степеней с одинаковым основанием.

Вычитаем показатели степеней:

$y^{12} : y^{11} = y^{12-11} = y^1 = y$.

Ответ: $y$.

6) Упростим выражение $c^5 \cdot c^{10} \cdot c$ по правилу умножения степеней с одинаковым основанием. Помним, что $c$ это то же самое, что и $c^1$.

Складываем показатели степеней:

$c^5 \cdot c^{10} \cdot c = c^5 \cdot c^{10} \cdot c^1 = c^{5+10+1} = c^{16}$.

Ответ: $c^{16}$.

1.43. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^3 \cdot a^4 \cdot a^6$;

2) $n \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot n^4$;

3) $10 \cdot 10^5 \cdot 10^2$;

4) $x^2 \cdot x^3 \cdot x$;

5) $q^5 \cdot q^3 \cdot q \cdot q^2$;

6) $2 \cdot 2^6 \cdot 2 \cdot 2^2$.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, используется свойство умножения степеней, которое гласит: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели степеней складываются. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном примере основание степени — это $a$. Показатели степеней равны 3, 4 и 6. Складываем показатели: $3 + 4 + 6 = 13$. Таким образом, произведение можно представить в виде степени:
$a^3 \cdot a^4 \cdot a^6 = a^{3+4+6} = a^{13}$.
Ответ: $a^{13}$.

2) Применяем то же свойство умножения степеней. Важно помнить, что любое число или переменная без явного показателя степени ($n$) подразумевает первую степень ($n^1$). Основание степени здесь — $n$. Показатели степеней равны 1, 2, 3 и 4. Суммируем показатели: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Следовательно, получаем:
$n \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot n^4 = n^{1} \cdot n^{2} \cdot n^{3} \cdot n^{4} = n^{1+2+3+4} = n^{10}$.
Ответ: $n^{10}$.

3) В этом выражении основание степени равно 10. Множитель 10, стоящий первым, равен $10^1$. Показатели степеней, которые необходимо сложить: 1, 5 и 2. Находим их сумму: $1 + 5 + 2 = 8$. Результат представляется в виде степени с основанием 10:
$10 \cdot 10^5 \cdot 10^2 = 10^1 \cdot 10^5 \cdot 10^2 = 10^{1+5+2} = 10^8$.
Ответ: $10^8$.

4) Здесь основанием является переменная $x$. Последний множитель $x$ эквивалентен $x^1$. Складываем показатели степеней всех множителей: 2, 3 и 1. Сумма показателей равна: $2 + 3 + 1 = 6$. Получаем итоговое выражение:
$x^2 \cdot x^3 \cdot x = x^2 \cdot x^3 \cdot x^1 = x^{2+3+1} = x^6$.
Ответ: $x^6$.

5) Основание степени — $q$. Множитель $q$ без показателя степени равен $q^1$. Складываем все показатели степеней: 5, 3, 1 и 2. Сумма показателей: $5 + 3 + 1 + 2 = 11$. Таким образом, произведение равно:
$q^5 \cdot q^3 \cdot q \cdot q^2 = q^5 \cdot q^3 \cdot q^1 \cdot q^2 = q^{5+3+1+2} = q^{11}$.
Ответ: $q^{11}$.

6) Основание степени в данном произведении равно 2. Множители 2, записанные без показателя, равны $2^1$. Складываем показатели степеней: 1, 6, 1 и 2. Сумма показателей: $1 + 6 + 1 + 2 = 10$. В результате получаем:
$2 \cdot 2^6 \cdot 2 \cdot 2^2 = 2^1 \cdot 2^6 \cdot 2^1 \cdot 2^2 = 2^{1+6+1+2} = 2^{10}$.
Ответ: $2^{10}$.

1.44. Запишите произведение в виде степени:

1) $x^2 \cdot x^2 \cdot x^7$;

2) $a \cdot a^4 \cdot a$;

3) $4 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot 4^2$;

4) $y^4 \cdot y^3 \cdot y^2$;

5) $m^5 \cdot m \cdot m^3 \cdot m^6$;

6) $7^3 \cdot 7 \cdot 7^7$.

Для решения данной задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их основание остается прежним, а показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число или переменная без показателя степени имеет показатель, равный 1, то есть $a = a^1$.

1) В произведении $x^2 \cdot x^2 \cdot x^7$ все множители имеют одинаковое основание $x$. Чтобы записать это произведение в виде степени, нужно сложить показатели степеней.
$x^2 \cdot x^2 \cdot x^7 = x^{2+2+7} = x^{11}$.
Ответ: $x^{11}$.

2) В произведении $a \cdot a^4 \cdot a^4 \cdot a$ основание у всех множителей одинаковое и равно $a$. Множители $a$ можно представить как $a^1$.
$a \cdot a^4 \cdot a^4 \cdot a = a^1 \cdot a^4 \cdot a^4 \cdot a^1 = a^{1+4+4+1} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

3) В произведении $4 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot 4^2$ основанием является число 4. Первый множитель 4 можно записать как $4^1$. Сложим показатели степеней.
$4 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot 4^2 = 4^1 \cdot 4^2 \cdot 4^3 \cdot 4^2 = 4^{1+2+3+2} = 4^8$.
Ответ: $4^8$.

4) В произведении $y^4 \cdot y^3 \cdot y^2$ все множители имеют одинаковое основание $y$. Складываем показатели степеней.
$y^4 \cdot y^3 \cdot y^2 = y^{4+3+2} = y^9$.
Ответ: $y^9$.

5) В произведении $m^5 \cdot m \cdot m^3 \cdot m^6$ основание равно $m$. Множитель $m$ следует рассматривать как $m^1$.
$m^5 \cdot m \cdot m^3 \cdot m^6 = m^5 \cdot m^1 \cdot m^3 \cdot m^6 = m^{5+1+3+6} = m^{15}$.
Ответ: $m^{15}$.

6) В произведении $7^3 \cdot 7 \cdot 7^7$ основанием является число 7. Множитель 7 равен $7^1$. Сложим показатели степеней.
$7^3 \cdot 7 \cdot 7^7 = 7^3 \cdot 7^1 \cdot 7^7 = 7^{3+1+7} = 7^{11}$.
Ответ: $7^{11}$.

1.45. Представьте выражение $x^{12}$ в виде произведения двух степеней с основанием $x$, одна из которых равна:

1) $x^5$;

2) $x^2$;

3) $x^7$;

4) $x^{12}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Нам необходимо представить выражение $x^{12}$ как произведение двух степеней, например $x^a \cdot x^b$. Согласно свойству, сумма их показателей должна быть равна 12, то есть $a+b=12$. Для каждого из предложенных вариантов нам дан один множитель, и мы должны найти второй, вычислив его показатель степени по формуле $b = 12-a$.

1) $x^5$

Если один из множителей равен $x^5$, то показатель степени второго множителя будет равен $12 - 5 = 7$. Следовательно, второй множитель — это $x^7$.
Проверим: $x^5 \cdot x^7 = x^{5+7} = x^{12}$.
Таким образом, искомое произведение — $x^5 \cdot x^7$.
Ответ: $x^5 \cdot x^7$.

2) $x^2$

Если один из множителей равен $x^2$, то показатель степени второго множителя будет равен $12 - 2 = 10$. Следовательно, второй множитель — это $x^{10}$.
Проверим: $x^2 \cdot x^{10} = x^{2+10} = x^{12}$.
Таким образом, искомое произведение — $x^2 \cdot x^{10}$.
Ответ: $x^2 \cdot x^{10}$.

3) $x^7$

Если один из множителей равен $x^7$, то показатель степени второго множителя будет равен $12 - 7 = 5$. Следовательно, второй множитель — это $x^5$.
Проверим: $x^7 \cdot x^5 = x^{7+5} = x^{12}$.
Таким образом, искомое произведение — $x^7 \cdot x^5$.
Ответ: $x^7 \cdot x^5$.

4) $x^{12}$

Если один из множителей равен $x^{12}$, то показатель степени второго множителя будет равен $12 - 12 = 0$. Следовательно, второй множитель — это $x^0$.
(Напомним, что любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно 1: $x^0 = 1$ при $x \neq 0$).
Проверим: $x^{12} \cdot x^0 = x^{12+0} = x^{12}$.
Таким образом, искомое произведение — $x^{12} \cdot x^0$.
Ответ: $x^{12} \cdot x^0$.

1.46. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^2 \cdot a^5 \cdot a^8$;

2) $b \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b$;

3) $x^3 \cdot x^2 \cdot x$;

4) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^7$;

5) $m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4$;

6) $0,4^5 \cdot 0,16$;

7) $0,125 \cdot 0,25 \cdot 0,5$;

8) $3^{12} \cdot 27 \cdot 81$.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно сложить показатели степеней, а основание оставить прежним. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^2 \cdot a^5 \cdot a^8 = a^{2+5+8} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$

2) Любое число или переменная без показателя степени считается в первой степени, то есть $b = b^1$. Применяем правило сложения показателей для степеней с одинаковым основанием.

$b \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b = b^1 \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b^1 = b^{1+4+4+1} = b^{10}$

Ответ: $b^{10}$

3) Аналогично предыдущему пункту, множитель $x$ равен $x^1$. Складываем показатели всех степеней.

$x^3 \cdot x^2 \cdot x = x^3 \cdot x^2 \cdot x^1 = x^{3+2+1} = x^6$

Ответ: $x^6$

4) В данном произведении все основания равны 10. Складываем их показатели.

$10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^7 = 10^{2+3+7} = 10^{12}$

Ответ: $10^{12}$

5) Все множители являются степенями с основанием $m$. Учитываем, что $m = m^1$.

$m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4 = m^1 \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4 = m^{1+2+3+4} = m^{10}$

Ответ: $m^{10}$

6) Чтобы упростить выражение, приведем все множители к одному основанию. Заметим, что $0,16$ является квадратом числа $0,4$, то есть $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^5 \cdot 0,16 = 0,4^5 \cdot 0,4^2 = 0,4^{5+2} = 0,4^7$

Ответ: $0,4^7$

7) Приведем все десятичные дроби к степеням с одним основанием. В качестве общего основания удобно выбрать $0,5$.

$0,5 = 0,5^1$

$0,25 = 0,5^2$

$0,125 = 0,5^3$

Теперь подставим эти значения в исходное произведение:

$0,125 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,5^3 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 0,5^{3+2+1} = 0,5^6$

Ответ: $0,5^6$

8) Для решения этого примера необходимо представить числа 27 и 81 в виде степеней с основанием 3.

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

Подставим полученные степени в выражение и сложим показатели:

$3^{12} \cdot 27 \cdot 81 = 3^{12} \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{12+3+4} = 3^{19}$

Ответ: $3^{19}$

1.47. Представьте частное в виде степени:

1) $x^5 : x^2;$

2) $b^{12} : b^{10};$

3) $2,5^{16} : 2,5^7;$

4) $\left(-\frac{2}{3}\right)^7 : \left(-\frac{2}{3}\right)^4.$

Для решения всех пунктов данной задачи используется свойство частного степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при делении степеней с одинаковыми основаниями ($a^m : a^n$), основание ($a$) остается без изменений, а из показателя степени делимого ($m$) вычитается показатель степени делителя ($n$). Формула выглядит следующим образом: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \ne 0$).

1) $x^5 : x^2$

В данном выражении основание степени равно $x$, показатель степени делимого — 5, а показатель степени делителя — 2. Применяя правило деления степеней, получаем:

$x^5 : x^2 = x^{5-2} = x^3$

Ответ: $x^3$.

2) $b^{12} : b^{10}$

Здесь основание степени — это $b$, показатели степеней — 12 и 10. Поступаем аналогично первому пункту:

$b^{12} : b^{10} = b^{12-10} = b^2$

Ответ: $b^2$.

3) $2,5^{16} : 2,5^7$

В этом примере основание степени — число 2,5, показатели степеней — 16 и 7. Используем то же свойство:

$2,5^{16} : 2,5^7 = 2,5^{16-7} = 2,5^9$

Ответ: $2,5^9$.

4) $(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4$

Основание степени здесь — отрицательная дробь $(-\frac{2}{3})$, а показатели степеней равны 7 и 4. Правило деления степеней применяется и в этом случае:

$(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4 = (-\frac{2}{3})^{7-4} = (-\frac{2}{3})^3$

Ответ: $(-\frac{2}{3})^3$.

1.48. Покажите, что значение дроби не зависит от натурального n:

1) $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$;

2) $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$.

1) Чтобы показать, что значение дроби $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$ не зависит от $n$, мы упростим это выражение, используя свойства степеней.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$6^{n+1} \cdot 6^{n+2} = 6^{(n+1) + (n+2)} = 6^{2n+3}$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{6^{2n+3}}{6^{2n}}$

Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$6^{(2n+3) - 2n} = 6^{3}$

Вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Полученное значение 216 является константой и не содержит переменную $n$. Следовательно, значение исходной дроби не зависит от натурального $n$.

Ответ: 216.

2) Аналогично, упростим выражение $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$, чтобы показать, что его значение не зависит от $n$.

Упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+4) + (2n-1)} = 5^{4n+3}$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{5^{4n+3}}{5^{4n+2}}$

Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$5^{(4n+3) - (4n+2)} = 5^{4n+3-4n-2} = 5^1$

Вычислим значение $5^1$:

$5^1 = 5$

Результат равен 5, что является константой и не зависит от $n$. Таким образом, мы показали, что значение дроби не зависит от натурального $n$.

Ответ: 5.

1.49. Представьте каким-нибудь способом степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием:

1) $a^{10}$;

2) $b^{12}$;

3) $x^{11}$;

4) $3^{12}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Это свойство гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Следовательно, чтобы представить заданную степень $a^k$ в виде произведения двух степеней с тем же основанием, нам нужно найти два любых числа $m$ и $n$, сумма которых равна $k$. После этого мы можем записать $a^k = a^m \cdot a^n$. Поскольку в задании указано "каким-нибудь способом", для каждого пункта существует множество правильных ответов. Мы приведем по одному из возможных решений для каждого случая.

1) Для степени $a^{10}$ показатель равен 10. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 10. Например, выберем числа 2 и 8, так как $2 + 8 = 10$.

Используя правило умножения степеней, мы можем записать:

$a^{10} = a^{2+8} = a^2 \cdot a^8$.

Ответ: $a^2 \cdot a^8$.

2) Для степени $b^{12}$ показатель равен 12. Найдем два числа, сумма которых равна 12. Например, можно взять одинаковые числа: $6 + 6 = 12$.

Представим степень $b^{12}$ в виде произведения:

$b^{12} = b^{6+6} = b^6 \cdot b^6$.

Ответ: $b^6 \cdot b^6$.

3) Для степени $x^{11}$ показатель равен 11. Найдем два числа, сумма которых равна 11. Например, выберем 5 и 6, так как $5 + 6 = 11$.

Следовательно, мы можем записать:

$x^{11} = x^{5+6} = x^5 \cdot x^6$.

Ответ: $x^5 \cdot x^6$.

4) Для степени $3^{12}$ основанием является число 3, а показатель равен 12. Подберем два числа, сумма которых равна 12, например, 4 и 8, так как $4 + 8 = 12$.

Тогда степень $3^{12}$ можно представить как произведение:

$3^{12} = 3^{4+8} = 3^4 \cdot 3^8$.

Ответ: $3^4 \cdot 3^8$.