Номер 1.46, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^2 \cdot a^5 \cdot a^8$;

2) $b \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b$;

3) $x^3 \cdot x^2 \cdot x$;

4) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^7$;

5) $m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4$;

6) $0,4^5 \cdot 0,16$;

7) $0,125 \cdot 0,25 \cdot 0,5$;

8) $3^{12} \cdot 27 \cdot 81$.

1) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно сложить показатели степеней, а основание оставить прежним. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^2 \cdot a^5 \cdot a^8 = a^{2+5+8} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$

2) Любое число или переменная без показателя степени считается в первой степени, то есть $b = b^1$. Применяем правило сложения показателей для степеней с одинаковым основанием.

$b \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b = b^1 \cdot b^4 \cdot b^4 \cdot b^1 = b^{1+4+4+1} = b^{10}$

Ответ: $b^{10}$

3) Аналогично предыдущему пункту, множитель $x$ равен $x^1$. Складываем показатели всех степеней.

$x^3 \cdot x^2 \cdot x = x^3 \cdot x^2 \cdot x^1 = x^{3+2+1} = x^6$

Ответ: $x^6$

4) В данном произведении все основания равны 10. Складываем их показатели.

$10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^7 = 10^{2+3+7} = 10^{12}$

Ответ: $10^{12}$

5) Все множители являются степенями с основанием $m$. Учитываем, что $m = m^1$.

$m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4 = m^1 \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^4 = m^{1+2+3+4} = m^{10}$

Ответ: $m^{10}$

6) Чтобы упростить выражение, приведем все множители к одному основанию. Заметим, что $0,16$ является квадратом числа $0,4$, то есть $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^5 \cdot 0,16 = 0,4^5 \cdot 0,4^2 = 0,4^{5+2} = 0,4^7$

Ответ: $0,4^7$

7) Приведем все десятичные дроби к степеням с одним основанием. В качестве общего основания удобно выбрать $0,5$.

$0,5 = 0,5^1$

$0,25 = 0,5^2$

$0,125 = 0,5^3$

Теперь подставим эти значения в исходное произведение:

$0,125 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,5^3 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 0,5^{3+2+1} = 0,5^6$

Ответ: $0,5^6$

8) Для решения этого примера необходимо представить числа 27 и 81 в виде степеней с основанием 3.

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

Подставим полученные степени в выражение и сложим показатели:

$3^{12} \cdot 27 \cdot 81 = 3^{12} \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{12+3+4} = 3^{19}$

Ответ: $3^{19}$