Номер 1.48, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Покажите, что значение дроби не зависит от натурального n:

1) $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$;

2) $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$.

1) Чтобы показать, что значение дроби $\frac{6^{n+1} \cdot 6^{n+2}}{6^{2n}}$ не зависит от $n$, мы упростим это выражение, используя свойства степеней.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$6^{n+1} \cdot 6^{n+2} = 6^{(n+1) + (n+2)} = 6^{2n+3}$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{6^{2n+3}}{6^{2n}}$

Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$6^{(2n+3) - 2n} = 6^{3}$

Вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Полученное значение 216 является константой и не содержит переменную $n$. Следовательно, значение исходной дроби не зависит от натурального $n$.

Ответ: 216.

2) Аналогично, упростим выражение $\frac{5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1}}{5^{4n+2}}$, чтобы показать, что его значение не зависит от $n$.

Упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$5^{2n+4} \cdot 5^{2n-1} = 5^{(2n+4) + (2n-1)} = 5^{4n+3}$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{5^{4n+3}}{5^{4n+2}}$

Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$5^{(4n+3) - (4n+2)} = 5^{4n+3-4n-2} = 5^1$

Вычислим значение $5^1$:

$5^1 = 5$

Результат равен 5, что является константой и не зависит от $n$. Таким образом, мы показали, что значение дроби не зависит от натурального $n$.

Ответ: 5.