Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Представьте число в виде куба числа.

$27$; $-64$; $343$; $-0,008$; $-\frac{1}{125}$; $4\frac{17}{27}$.

27
Чтобы представить число 27 в виде куба числа, необходимо найти такое число a, для которого выполняется равенство $a^3 = 27$. Таким числом является кубический корень из 27.
Мы знаем, что $3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, $27 = 3^3$.
Ответ: $3^3$.

-64
Нужно найти число a, такое что $a^3 = -64$. Так как результат является отрицательным числом, основание степени a также должно быть отрицательным.
Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Тогда $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$.
Ответ: $(-4)^3$.

343
Нужно найти число a, такое что $a^3 = 343$.
Проверим число 7: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Следовательно, $343 = 7^3$.
Ответ: $7^3$.

-0,008
Нужно найти число a, такое что $a^3 = -0,008$. Основание степени a должно быть отрицательным.
Представим десятичную дробь -0,008 в виде обыкновенной: $-0,008 = -\frac{8}{1000}$.
Найдём кубические корни из числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Значит, искомое число равно $-\frac{2}{10} = -0,2$.
Проверка: $(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$.
Ответ: $(-0,2)^3$.

$-\frac{1}{125}$
Нужно найти число a, такое что $a^3 = -\frac{1}{125}$. Основание степени a должно быть отрицательным.
Найдём кубические корни из числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{1} = 1$ и $\sqrt[3]{125} = 5$.
Следовательно, искомое число $a = -\frac{1}{5}$.
Таким образом, $-\frac{1}{125} = (-\frac{1}{5})^3$.
Ответ: $(-\frac{1}{5})^3$.

$4\frac{17}{27}$
Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$.
Теперь нужно найти число a, такое что $a^3 = \frac{125}{27}$.
Для этого найдём кубические корни из числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{125} = 5$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.
Следовательно, искомое число $a = \frac{5}{3}$.
Таким образом, $4\frac{17}{27} = (\frac{5}{3})^3$.
Ответ: $(\frac{5}{3})^3$.

1.21. Заполните таблицу.

$x$ 1 2 3 4 5

$2^x$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x$

$3^x$

$(-1)^x$

$(-2)^x$

Для заполнения таблицы необходимо последовательно подставлять значения $x$ из верхней строки в выражения, указанные в первом столбце, и вычислять результат для каждой ячейки.

$2^x$

Вычисляем значение выражения $2^x$ для каждого значения $x$ от 1 до 5:
При $x=1$: $2^1 = 2$
При $x=2$: $2^2 = 4$
При $x=3$: $2^3 = 8$
При $x=4$: $2^4 = 16$
При $x=5$: $2^5 = 32$

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32.

$(\frac{1}{2})^x$

Вычисляем значение выражения $(\frac{1}{2})^x$ для каждого значения $x$:
При $x=1$: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
При $x=2$: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$
При $x=3$: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
При $x=4$: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$
При $x=5$: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$.

$3^x$

Вычисляем значение выражения $3^x$ для каждого значения $x$:
При $x=1$: $3^1 = 3$
При $x=2$: $3^2 = 9$
При $x=3$: $3^3 = 27$
При $x=4$: $3^4 = 81$
При $x=5$: $3^5 = 243$

Ответ: 3, 9, 27, 81, 243.

$(-1)^x$

Вычисляем значение выражения $(-1)^x$ для каждого значения $x$. Знак результата зависит от четности показателя степени $x$ (если степень четная, результат 1; если нечетная, результат -1):
При $x=1$: $(-1)^1 = -1$
При $x=2$: $(-1)^2 = 1$
При $x=3$: $(-1)^3 = -1$
При $x=4$: $(-1)^4 = 1$
При $x=5$: $(-1)^5 = -1$

Ответ: -1, 1, -1, 1, -1.

$(-2)^x$

Вычисляем значение выражения $(-2)^x$ для каждого значения $x$. Знак результата также зависит от четности показателя степени $x$:
При $x=1$: $(-2)^1 = -2$
При $x=2$: $(-2)^2 = 4$
При $x=3$: $(-2)^3 = -8$
При $x=4$: $(-2)^4 = 16$
При $x=5$: $(-2)^5 = -32$

Ответ: -2, 4, -8, 16, -32.

Итоговая заполненная таблица выглядит следующим образом:

1.22. Запишите в виде выражения:

1) квадрат суммы x и y;

$(x+y)^2$

2) сумму квадратов x и y;

$x^2 + y^2$

3) утроенное произведение квадрата x и куба y;

$3x^2y^3$

4) удвоенный куб разности x и y.

$2(x-y)^3$

1) квадрат суммы x и y;

Чтобы записать это выражение, сначала найдем сумму чисел x и y. Сумма записывается как $x + y$. Затем, согласно условию, эту сумму нужно возвести в квадрат. Возвести в квадрат — значит возвести во вторую степень. Для этого выражение суммы необходимо заключить в скобки и возвести в степень 2.

Ответ: $(x + y)^2$

2) сумму квадратов x и y;

В этом случае нам нужно сначала найти квадраты каждого числа, а затем их сложить. Квадрат числа x — это $x^2$. Квадрат числа y — это $y^2$. Сумма этих квадратов записывается как $x^2 + y^2$.

Ответ: $x^2 + y^2$

3) утроенное произведение квадрата x и куба y;

Разберем выражение по частям. "Квадрат x" — это $x^2$. "Куб y" — это $y^3$. "Произведение квадрата x и куба y" — это результат их умножения: $x^2y^3$. "Утроенное" означает, что полученное произведение нужно умножить на 3.

Ответ: $3x^2y^3$

4) удвоенный куб разности x и y.

Сначала находим "разность x и y", которая записывается как $x - y$. Затем эту разность нужно возвести в куб, то есть в третью степень. Для этого берем разность в скобки и ставим степень 3: $(x - y)^3$. "Удвоенный" означает, что полученное выражение нужно умножить на 2.

Ответ: $2(x - y)^3$

1.23. Могут ли выражения $2a^2$ и $(a-5)^4$ при некоторых значениях $a$ принимать отрицательные значения? Объясните ответ.

Выражение $2a^2$

Рассмотрим первое выражение $2a^2$. Переменная $a$ в квадрате, то есть $a^2$, всегда дает неотрицательный результат для любого действительного значения $a$. Это связано с тем, что произведение двух отрицательных чисел положительно, произведение двух положительных чисел положительно, а ноль в квадрате равен нулю. Математически это записывается как $a^2 \ge 0$.

Далее, это неотрицательное значение $a^2$ умножается на положительное число 2. Произведение неотрицательного числа на положительное всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $2a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$.

Таким образом, выражение $2a^2$ не может принимать отрицательные значения.

Ответ: Нет, выражение $2a^2$ не может принимать отрицательные значения.

Выражение $(a-5)^4$

Рассмотрим второе выражение $(a-5)^4$. Здесь мы имеем дело с возведением в четную степень (4). Независимо от того, какое значение принимает основание степени $(a-5)$ — положительное, отрицательное или ноль — результат возведения в четную степень всегда будет неотрицательным.

Пусть $b = a-5$. Тогда выражение будет $b^4$.

• Если $b > 0$, то $b^4 > 0$.
• Если $b < 0$, то $b^4$ также будет больше нуля (например, $(-2)^4 = 16$).
• Если $b = 0$ (это происходит при $a=5$), то $b^4 = 0$.

В любом случае, $b^4 \ge 0$, а значит и $(a-5)^4 \ge 0$ для любого значения $a$.

Таким образом, выражение $(a-5)^4$ не может принимать отрицательные значения.

Ответ: Нет, выражение $(a-5)^4$ не может принимать отрицательные значения.

1.24. Представьте произведение в виде степени с основанием x:

1) $x^2 \cdot x$;

2) $x^3 \cdot x^2$;

3) $x^3 \cdot x^7$;

4) $x^{14} \cdot x^{20}$.

1) Для того чтобы представить произведение в виде степени, используется основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В выражении $x^2 \cdot x$ основание у обоих множителей одинаковое и равно $x$. Показатель первого множителя равен 2. Второй множитель $x$ можно представить как $x$ в первой степени, то есть $x^1$.
Складываем показатели степеней: $x^2 \cdot x = x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$.
Ответ: $x^3$

2) В произведении $x^3 \cdot x^2$ оба множителя являются степенями с одинаковым основанием $x$. Чтобы найти результат, применим то же свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и сложим их показатели.
Сложение показателей 3 и 2 дает: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.
Ответ: $x^5$

3) Аналогично предыдущим примерам, для произведения $x^3 \cdot x^7$ мы складываем показатели степеней, так как основания у них одинаковы ($x$).
Выполняем сложение показателей 3 и 7: $x^3 \cdot x^7 = x^{3+7} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$

4) Для произведения $x^{14} \cdot x^{20}$ применяется то же правило умножения степеней с одинаковым основанием. Необходимо сложить показатели 14 и 20.
Производим расчет: $x^{14} \cdot x^{20} = x^{14+20} = x^{34}$.
Ответ: $x^{34}$

1.25. Вычислите значение выражения $2a^5 - 5a^4 + a^3 - 3a^2$, если

Для вычисления значения выражения $2a^5 - 5a^4 + a^3 - 3a^2$ подставим в него поочередно заданные значения переменной $a$.

При a = -1:

Подставляем $a = -1$ в выражение:

$2(-1)^5 - 5(-1)^4 + (-1)^3 - 3(-1)^2 = 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 + (-1) - 3 \cdot 1 = -2 - 5 - 1 - 3 = -11$.

Ответ: -11

При a = 0:

Подставляем $a = 0$ в выражение:

$2(0)^5 - 5(0)^4 + (0)^3 - 3(0)^2 = 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 + 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0

При a = 2:

Подставляем $a = 2$ в выражение:

$2(2)^5 - 5(2)^4 + (2)^3 - 3(2)^2 = 2 \cdot 32 - 5 \cdot 16 + 8 - 3 \cdot 4 = 64 - 80 + 8 - 12 = -16 + 8 - 12 = -8 - 12 = -20$.

Ответ: -20

1.26. Найдите значение выражения:

1) $\frac{2a^4 - 3b^3}{1 - a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{3}$;

2) $\frac{2m^2 - 4m - 1}{m^2 + m + 1}$ при $m = -\frac{3}{4}$;

3) $\frac{3x^2 + 5y}{2x - 1} + \frac{x^2 - 2y^3}{3 - 4y}$ при $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{2}$;

4) $\frac{1 - 2ab}{3a^2b} - \frac{2 + 3ab^2}{4ab^3}$ при $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{2}{3}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{2a^4 - 3b^3}{1 - a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{3}$, сначала вычислим значения степеней: $a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ $a^4 = (-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ $b^3 = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$ Теперь подставим эти значения в выражение. Вычислим числитель: $2a^4 - 3b^3 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 3 \cdot (-\frac{1}{27}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{27} = \frac{1}{8} + \frac{1}{9}$. Приводим к общему знаменателю 72: $\frac{9}{72} + \frac{8}{72} = \frac{17}{72}$. Вычислим знаменатель: $1 - a^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Найдем значение всей дроби: $\frac{17/72}{3/4} = \frac{17}{72} \cdot \frac{4}{3} = \frac{17 \cdot 4}{72 \cdot 3} = \frac{17}{18 \cdot 3} = \frac{17}{54}$. Ответ: $\frac{17}{54}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{2m^2 - 4m - 1}{m^2 + m + 1}$ при $m = -\frac{3}{4}$, подставим это значение в выражение. Сначала вычислим $m^2$: $m^2 = (-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$. Теперь вычислим числитель: $2m^2 - 4m - 1 = 2 \cdot (\frac{9}{16}) - 4 \cdot (-\frac{3}{4}) - 1 = \frac{18}{16} + \frac{12}{4} - 1 = \frac{9}{8} + 3 - 1 = \frac{9}{8} + 2 = \frac{9}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25}{8}$. Затем вычислим знаменатель: $m^2 + m + 1 = \frac{9}{16} + (-\frac{3}{4}) + 1 = \frac{9}{16} - \frac{12}{16} + \frac{16}{16} = \frac{9 - 12 + 16}{16} = \frac{13}{16}$. Найдем значение всей дроби: $\frac{25/8}{13/16} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{13} = \frac{25 \cdot 2}{13} = \frac{50}{13}$. Ответ: $\frac{50}{13}$.

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{3x^2 + 5y}{2x - 1} + \frac{x^2 - 2y^3}{3 - 4y}$ при $x = -\frac{1}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$, вычислим значение каждой дроби по отдельности. Для первой дроби $\frac{3x^2 + 5y}{2x - 1}$: Числитель: $3x^2 + 5y = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 5 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{5}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6}$. Знаменатель: $2x - 1 = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}$. Значение первой дроби: $\frac{17/6}{-5/3} = \frac{17}{6} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 5} = -\frac{17}{10}$. Для второй дроби $\frac{x^2 - 2y^3}{3 - 4y}$: Числитель: $x^2 - 2y^3 = (-\frac{1}{3})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4}{36} - \frac{9}{36} = -\frac{5}{36}$. Знаменатель: $3 - 4y = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1$. Значение второй дроби: $\frac{-5/36}{1} = -\frac{5}{36}$. Теперь сложим значения двух дробей: $-\frac{17}{10} + (-\frac{5}{36}) = -\frac{17}{10} - \frac{5}{36}$. Приведем к общему знаменателю 180: $-\frac{17 \cdot 18}{180} - \frac{5 \cdot 5}{180} = -\frac{306}{180} - \frac{25}{180} = -\frac{331}{180}$. Ответ: $-\frac{331}{180}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{1 - 2ab}{3a^2b} - \frac{2 + 3ab^2}{4ab^3}$ при $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{2}{3}$, вычислим значение каждой дроби по отдельности. Для первой дроби $\frac{1 - 2ab}{3a^2b}$: Числитель: $1 - 2ab = 1 - 2 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{3}) = 1 - (-\frac{2}{3}) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Знаменатель: $3a^2b = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (-\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$. Значение первой дроби: $\frac{5/3}{-1/2} = \frac{5}{3} \cdot (-2) = -\frac{10}{3}$. Для второй дроби $\frac{2 + 3ab^2}{4ab^3}$: Числитель: $2 + 3ab^2 = 2 + 3 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{3})^2 = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = 2 + \frac{12}{18} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Знаменатель: $4ab^3 = 4 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{3})^3 = 2 \cdot (-\frac{8}{27}) = -\frac{16}{27}$. Значение второй дроби: $\frac{8/3}{-16/27} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{27}{16}) = -\frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 16} = -\frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 2} = -\frac{9}{2}$. Теперь найдем разность полученных значений: $(-\frac{10}{3}) - (-\frac{9}{2}) = -\frac{10}{3} + \frac{9}{2}$. Приведем к общему знаменателю 6: $\frac{-20}{6} + \frac{27}{6} = \frac{7}{6}$. Ответ: $\frac{7}{6}$.