Страница 14 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Запишите степень в виде произведения:

1) $a^3$;

2) $b^5$;

3) $x^3$;

4) $(cx)^3$;

5) $2 \cdot y^5$;

6) $(-m)^5$.

1) Чтобы записать степень $a^3$ в виде произведения, нужно основание степени, то есть $a$, умножить само на себя столько раз, сколько показывает показатель степени, то есть 3 раза.
$a^3 = a \cdot a \cdot a$
Ответ: $a \cdot a \cdot a$

2) Степень $b^5$ означает, что основание $b$ необходимо умножить само на себя 5 раз.
$b^5 = b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$
Ответ: $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$

3) Степень $x^3$ представляет собой произведение трех множителей, каждый из которых равен основанию $x$.
$x^3 = x \cdot x \cdot x$
Ответ: $x \cdot x \cdot x$

4) В данном случае основанием степени является выражение $(cx)$, а показателем степени — 3. Следовательно, нужно умножить $(cx)$ само на себя 3 раза.
$(cx)^3 = (cx) \cdot (cx) \cdot (cx)$
Ответ: $(cx) \cdot (cx) \cdot (cx)$

5) В выражении $2 \cdot y^5$ в пятую степень возводится только переменная $y$. Коэффициент $2$ является отдельным множителем.
$2 \cdot y^5 = 2 \cdot (y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y) = 2 \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$
Ответ: $2 \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$

6) Основанием степени здесь является выражение $(-m)$. Его нужно умножить само на себя 5 раз.
$(-m)^5 = (-m) \cdot (-m) \cdot (-m) \cdot (-m) \cdot (-m)$
Ответ: $(-m) \cdot (-m) \cdot (-m) \cdot (-m) \cdot (-m)$

1.6. Вычислите:

1) $(\frac{4}{5})^2$;

2) $(-\frac{2}{3})^2$;

3) $(1\frac{1}{2})^2$;

4) $(-2\frac{1}{4})^2$;

5) $(2,1)^2$;

6) $(-6)^3$;

7) $9^3$;

8) $(-1)^3$;

9) $(1\frac{3}{4})^3$;

10) $(-1,2)^3$.

1) Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель.
$\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$.
Ответ: $\frac{16}{25}$.

2) При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) результат будет положительным.
$\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

3) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби, а затем возведем в квадрат.
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

4) Представим отрицательное смешанное число в виде неправильной дроби. Так как степень четная, результат будет положительным.
$-2\frac{1}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{9}{4}$.
$\left(-2\frac{1}{4}\right)^2 = \left(-\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{(-9)^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

5) Для возведения десятичной дроби в квадрат, умножим ее саму на себя.
$(2,1)^2 = 2,1 \cdot 2,1 = 4,41$.
Ответ: $4,41$.

6) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в куб) результат будет отрицательным.
$(-6)^3 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 \cdot (-6) = -216$.
Ответ: $-216$.

7) Возведем число 9 в третью степень.
$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$.
Ответ: $729$.

8) Возведем число -1 в третью степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Ответ: $-1$.

9) Представим смешанное число в виде неправильной дроби, а затем возведем в куб.
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
$\left(1\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{7}{4}\right)^3 = \frac{7^3}{4^3} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 7}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{343}{64}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $343 \div 64 = 5$ (остаток $23$), то есть $5\frac{23}{64}$.
Ответ: $5\frac{23}{64}$.

10) Возведем отрицательную десятичную дробь в куб. Результат будет отрицательным.
$(-1,2)^3 = (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) = 1,44 \cdot (-1,2) = -1,728$.
Ответ: $-1,728$.

1.7. Заполните таблицу.

$x$: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $-1\frac{2}{3}$, $-0,3$

$x^2$: , , , , , , , 16, , , , , ,

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить соответствующее значение $x^2$ и записать его в ячейку нижней строки. Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя.

Для $x = 1$

Возводим 1 в квадрат: $x^2 = 1^2 = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

Для $x = 2$

Возводим 2 в квадрат: $x^2 = 2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4

Для $x = 3$

Возводим 3 в квадрат: $x^2 = 3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: 9

Для $x = 4$

Возводим 4 в квадрат: $x^2 = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16

Для $x = -1$

Возводим -1 в квадрат. Квадрат отрицательного числа является положительным числом: $x^2 = (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Ответ: 1

Для $x = -2$

Возводим -2 в квадрат: $x^2 = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.

Ответ: 4

Для $x = -3$

Возводим -3 в квадрат: $x^2 = (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.

Ответ: 9

Для $x = -4$

Возводим -4 в квадрат: $x^2 = (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$. Это значение уже было в таблице, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Ответ: 16

Для $x = \frac{1}{2}$

Возводим дробь $\frac{1}{2}$ в квадрат. Для этого нужно возвести в квадрат и числитель, и знаменатель: $x^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

Для $x = \frac{1}{3}$

Возводим дробь $\frac{1}{3}$ в квадрат: $x^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

Для $x = -\frac{1}{2}$

Возводим отрицательную дробь $-\frac{1}{2}$ в квадрат. Результат будет положительным: $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{(-1)^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

Для $x = -\frac{1}{4}$

Возводим отрицательную дробь $-\frac{1}{4}$ в квадрат: $x^2 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{(-1)^2}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

Для $x = -1\frac{2}{3}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$.

Теперь возводим полученную дробь в квадрат: $x^2 = (-\frac{5}{3})^2 = \frac{(-5)^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

Ответ: $\frac{25}{9}$

Для $x = -0,3$

Возводим десятичную дробь -0,3 в квадрат: $x^2 = (-0,3)^2 = (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09$.

Ответ: 0,09

В результате получаем следующую заполненную таблицу:

1.8. Представьте число в виде квадрата числа.

0,01; 0,49; 121; $\frac{36}{169}$; $1\frac{56}{169}$; 0,0009.

0,01

Чтобы представить число 0,01 в виде квадрата числа, необходимо найти такое число a, для которого выполняется равенство $a^2 = 0,01$. Это равносильно нахождению квадратного корня из 0,01.

Можно представить десятичную дробь 0,01 в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Теперь задача сводится к нахождению числа a, такого что $a^2 = \frac{1}{100}$.

Для нахождения a извлечем квадратный корень: $a = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$.

В десятичной форме $\frac{1}{10}$ равно 0,1. Проверим: $(0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.

Ответ: $(0,1)^2$

0,49

Нужно найти число b, такое что $b^2 = 0,49$. Для этого найдем квадратный корень из 0,49.

Представим 0,49 в виде обыкновенной дроби: $0,49 = \frac{49}{100}$.

Тогда $b^2 = \frac{49}{100}$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $b = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$.

Проверка: $(0,7)^2 = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$.

Ответ: $(0,7)^2$

121

Требуется найти число c, для которого $c^2 = 121$. Это означает, что нужно найти квадратный корень из 121.

Число 121 является полным квадратом. Из таблицы умножения или подбором находим, что $11 \cdot 11 = 121$.

Следовательно, $c = 11$.

Ответ: $11^2$

$\frac{36}{169}$

Необходимо представить дробь $\frac{36}{169}$ в виде квадрата числа d, то есть $d^2 = \frac{36}{169}$.

Чтобы найти d, нужно извлечь квадратный корень из дроби. Квадратный корень из дроби равен отношению квадратных корней из числителя и знаменателя.

$d = \sqrt{\frac{36}{169}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}}$.

Находим корни: $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{169} = 13$.

Таким образом, $d = \frac{6}{13}$.

Проверка: $(\frac{6}{13})^2 = \frac{6^2}{13^2} = \frac{36}{169}$.

Ответ: $(\frac{6}{13})^2$

$1\frac{56}{169}$

Чтобы представить смешанное число в виде квадрата, сначала переведем его в неправильную дробь.

$1\frac{56}{169} = \frac{1 \cdot 169 + 56}{169} = \frac{169 + 56}{169} = \frac{225}{169}$.

Теперь ищем число e, такое что $e^2 = \frac{225}{169}$.

Извлекаем квадратный корень из числителя и знаменателя: $e = \sqrt{\frac{225}{169}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{169}}$.

Находим корни: $\sqrt{225} = 15$ (так как $15 \cdot 15 = 225$) и $\sqrt{169} = 13$.

Значит, $e = \frac{15}{13}$.

Проверка: $(\frac{15}{13})^2 = \frac{15^2}{13^2} = \frac{225}{169}$.

Ответ: $(\frac{15}{13})^2$

0,0009

Задача — найти число f, такое что $f^2 = 0,0009$.

Представим десятичную дробь 0,0009 в виде обыкновенной: $0,0009 = \frac{9}{10000}$.

Теперь найдем f из уравнения $f^2 = \frac{9}{10000}$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $f = \sqrt{\frac{9}{10000}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10000}} = \frac{3}{100}$.

В виде десятичной дроби это будет 0,03.

Проверка: $(0,03)^2 = 0,03 \cdot 0,03 = 0,0009$.

Ответ: $(0,03)^2$

1.9. Найдите значения выражений:

1) $x^2$, $-x^2$, $(-x)^2$, если $x=5$; $-4$;

2) $x^3$, $-x^3$, $(-x)^3$, если $x=3$; $-2$.

1) Требуется найти значения выражений $x^2$, $-x^2$, $(-x)^2$ для $x=5$ и $x=-4$.

При $x=5$:
$x^2 = 5^2 = 25$
$-x^2 = -(5^2) = -25$
$(-x)^2 = (-5)^2 = 25$

При $x=-4$:
$x^2 = (-4)^2 = 16$
$-x^2 = -((-4)^2) = -(16) = -16$
$(-x)^2 = (-(-4))^2 = 4^2 = 16$

Ответ: при $x=5$ значения равны $25, -25, 25$; при $x=-4$ значения равны $16, -16, 16$.

2) Требуется найти значения выражений $x^3$, $-x^3$, $(-x)^3$ для $x=3$ и $x=-2$.

При $x=3$:
$x^3 = 3^3 = 27$
$-x^3 = -(3^3) = -27$
$(-x)^3 = (-3)^3 = -27$

При $x=-2$:
$x^3 = (-2)^3 = -8$
$-x^3 = -((-2)^3) = -(-8) = 8$
$(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8$

Ответ: при $x=3$ значения равны $27, -27, -27$; при $x=-2$ значения равны $-8, 8, 8$.

1.10. Вычислите:

1) $2 \cdot (-3)^2$;

2) $-5 \cdot (-2)^3$;

3) $-\frac{1}{2} \cdot (-4)^2$;

4) $-4 \cdot (-4)^3$;

5) $-(-0,2)^2$;

6) $-\frac{2}{3} \cdot (-3)^2$;

7) $(-5)^3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$;

8) $-(-3)^2 \cdot (-2)^3$.

1) $ 2 \cdot (-3)^2 $
Сначала выполняем возведение в степень, так как это операция с более высоким приоритетом. Отрицательное число в четной степени дает положительный результат.
$ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 $
Теперь выполняем умножение:
$ 2 \cdot 9 = 18 $
Ответ: 18

2) $ -5 \cdot (-2)^3 $
Сначала возводим в степень. Отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат.
$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8 $
Затем выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$ -5 \cdot (-8) = 40 $
Ответ: 40

3) $ -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 $
Выполняем возведение в степень:
$ (-4)^2 = 16 $
Теперь умножаем полученный результат на дробь:
$ -\frac{1}{2} \cdot 16 = -\frac{16}{2} = -8 $
Ответ: -8

4) $ -4 \cdot (-4)^3 $
Выполняем возведение в степень:
$ (-4)^3 = -64 $
Далее выполняем умножение:
$ -4 \cdot (-64) = 256 $
Ответ: 256

5) $ -(-0,2)^2 $
Сначала возводим в степень число в скобках. Используем запятую как десятичный разделитель, как в задании.
$ (-0,2)^2 = 0,04 $
Теперь применяем знак минуса, который стоит перед скобками:
$ -(0,04) = -0,04 $
Ответ: -0,04

6) $ -\frac{2}{3} \cdot (-3)^2 $
Возводим в степень:
$ (-3)^2 = 9 $
Умножаем дробь на полученное число:
$ -\frac{2}{3} \cdot 9 = -\frac{2 \cdot 9}{3} = -2 \cdot 3 = -6 $
Ответ: -6

7) $ (-5)^3 \cdot (-\frac{3}{5}) $
Возводим в степень первый множитель:
$ (-5)^3 = -125 $
Умножаем результаты. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$ -125 \cdot (-\frac{3}{5}) = 125 \cdot \frac{3}{5} = \frac{125}{5} \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75 $
Ответ: 75

8) $ -(-3)^2 \cdot (-2)^3 $
Вычисляем значения выражений в скобках, возведенных в степень:
$ (-3)^2 = 9 $
$ (-2)^3 = -8 $
Подставляем полученные значения обратно в выражение. Знак минуса перед первой скобкой относится к результату возведения в степень.
$ -(9) \cdot (-8) = -9 \cdot (-8) = 72 $
Ответ: 72

1.11. Сравните:

1) $(-0,5)^2$ и 0;

2) $-0,5^3$ и 0;

3) $(-0,5)^3$ и 0;

4) $(-1,1)^2$ и $0,3^2$;

5) $-1,1^4$ и $(-0,3)^4$;

6) $(-2,7)^{10}$ и $(-9,2)^{13}$.

1) Сравним $(-0,5)^2$ и $0$.
При возведении любого ненулевого числа в четную степень (в данном случае степень 2) результат всегда будет положительным.
Вычислим значение: $(-0,5)^2 = (-0,5) \times (-0,5) = 0,25$.
Так как любое положительное число больше нуля, $0,25 > 0$.
Следовательно, $(-0,5)^2 > 0$.
Ответ: $(-0,5)^2 > 0$.

2) Сравним $-0,5^3$ и $0$.
В выражении $-0,5^3$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минус (операция унарного минуса).
$0,5^3 = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$.
Тогда $-0,5^3 = -0,125$.
Так как любое отрицательное число меньше нуля, $-0,125 < 0$.
Следовательно, $-0,5^3 < 0$.
Ответ: $-0,5^3 < 0$.

3) Сравним $(-0,5)^3$ и $0$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень 3) результат всегда будет отрицательным.
Вычислим значение: $(-0,5)^3 = (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) = 0,25 \times (-0,5) = -0,125$.
Так как любое отрицательное число меньше нуля, $-0,125 < 0$.
Следовательно, $(-0,5)^3 < 0$.
Ответ: $(-0,5)^3 < 0$.

4) Сравним $(-1,1)^2$ и $0,3^2$.
Вычислим значения обоих выражений.
$(-1,1)^2 = 1,1 \times 1,1 = 1,21$.
$0,3^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.
Теперь сравним полученные результаты: $1,21 > 0,09$.
Следовательно, $(-1,1)^2 > 0,3^2$.
Ответ: $(-1,1)^2 > 0,3^2$.

5) Сравним $-1,1^4$ и $(-0,3)^4$.
Определим знаки выражений.
Для первого выражения $-1,1^4$: сначала вычисляется степень $1,1^4$, результат будет положительным. Затем к результату применяется знак минус, поэтому итоговое значение $-1,1^4$ будет отрицательным.
Для второго выражения $(-0,3)^4$: отрицательное число $-0,3$ возводится в четную степень 4. Результат будет положительным.
Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Следовательно, $-1,1^4 < (-0,3)^4$.
Ответ: $-1,1^4 < (-0,3)^4$.

6) Сравним $(-2,7)^{10}$ и $(-9,2)^{13}$.
Определим знаки выражений, не выполняя полных вычислений.
Для первого выражения $(-2,7)^{10}$: отрицательное число $-2,7$ возводится в четную степень 10. Результат будет положительным. $(-2,7)^{10} > 0$.
Для второго выражения $(-9,2)^{13}$: отрицательное число $-9,2$ возводится в нечетную степень 13. Результат будет отрицательным. $(-9,2)^{13} < 0$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $(-2,7)^{10} > (-9,2)^{13}$.
Ответ: $(-2,7)^{10} > (-9,2)^{13}$.